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Floh
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 13:27: | 
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Hallo,ich heiße Floh und habe ein großes Problem.
Und zwar soll mit Hilfe der Vektorrechnung beweisen,daß sich die Winkelhalbierenden,Höhen und Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.Denn Beweiß für die Seitenhalbierenden habe ich schon geschaft,aber bei den anderen komme ich nicht weiter.
Es wäre sehr nett,wenn ihr mir hier helfen könntet.Vielen Dank. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 19:53: |
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Hi Floh,
Im folgenden möchte ich Dir einen rein vektoriellen
Beweis des Satzes über den Höhenschnittpunkt vorführen
Notwendige Vorkenntnisse:
Begriff des Skalarproduktes,
Umgang damit und Rolle des Skalarproduktes bei
Orthogonalität
Gültigkeit des Distributivgesetzes bei der skalaren
Multiplikation zweier Vektoren etc.
Bei den Bezeichnungen der im folgenden benützten Vektoren
fehlen überall die Vektorpfeile.
Beginn des Beweises
Im Dreieck ABC führen wir die Seitenvektoren
a = BC , b = CA , c = AB ein.
Wir wählen den Punkt H so ,dass der Vektor u = HA auf
dem Vektor a und der Vektor v = HB auf dem Vektor b
senkrecht steht.
Somit sind die Skalarprodukte a .u und b.v je null:
Es gelten die Gleichungen
a.u = 0 ; bv = 0...................................................................(I)
Daraus folgt im Verlaufe der Berechnung, dass der Vektor
w = HC auf dem Vektor c senkrecht steht .
Das wird so gezeigt:
Aus u = w + b , v = w - a folgt durch skalare Multiplikation :
a u = a ( w + b ) = aw + ab = 0...............................................(II)
b v = b ( w - a ) = bw - ba = 0 ...............................................(III)
Addiert man nun die Gleichungen (II) und (III),so kommt:
a w + b w = 0
Daraus: (a + b ) w = 0
Da a + b = - c gilt , heisst das : c w = 0 , d.h. der Vektor w
steht tatsächlich auf dem Vektor c senkrecht , w.z.b.w.
Ende des Beweises
Mit freundlichen Grüssen
H.R,Moser,megamath. |
Floh
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 11:06: |
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Hier ist nochmal Floh,
vielen dank an H.R,Moser,megamath.
Ich versuche jetzt mal den Beweis nachzuvollziehen und melde mich nochmal,wenn ich nicht klar komme.Trotzdem vielen dank,Floh. |
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