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Beitrag |
    
Alex
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 15:34: | 
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geradenschar
ha:x(Vektor)= (-4/0/1)+t(2+a/2/-1-a) mit a,t Element aus R
und die Gerade
g:x(Vektor)= (-2/0/3)+s(1/0/1) mit s Element aus R
gegeben.
a) Die Geraden h0(a=0) und h-3(a=-3) spannen die Ebene E auf. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.
b) Zeigen Sie, daß alle Geraen ha in der Ebene E liegen.
c) Für welchen a-Wert schließt ha mit der Geraden g den Winkel 60° ein?
d) Zeigen Sie auf zweifache Art, daß die Geradenschar ha, mit der Geraden g genau einen Punkt gemeinsam hat.
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand diese Aufgaben lösen könnte.
Vielen Dank schon mal. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 09:35: |
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Hi Alex,
a) die Parametergleichungen der Geraden lauten:
ho : x = - 4 + 2 t , y = 2 t , z = 1 - t
h-3 : x = - 4 - t , y = 0 + 2 t , z = 1 + 2 t
Sie schneiden sich im Punkt S (-4 / 0 / 1 )
Wir erhalten einen Normalenvektor n der gesuchten
Ebenen E als Vektorprodukt n = r1 x r2 der
Richtungsvektoren r1 = { 2 ; 2 ; - 1 } von ho und
r2 = { - 1 ; 2 ; 2 } von h-3
Wir bekommen n = { 6 ; - 3 ; 6 } = 3 * { 2 ; -1 ; 2 }.
Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet daher:
E : 2x - y + 2 z = - 6
Die Konstante - 6 auf der rechten Seite ergibt sich,
wenn man die Koordinaten von S auf der linken Seite
einsetzt .
b) Wir setzen die Koordinaten
x = - 4 + 2 t + a t , y = 2 t , z = 1 - t - a t
eines laufenden Punktes von ha in die Gleichung von E ein
und stellen fest , dass die Gleichung für alle Werte von t
und auch für jeden a-Wert erfüllt wird;
dies bedeutet, dass ha für alle Werte von a auf E liegt..
Ausführung:
Linke Seite L der Gleichung:
L = 2 * (-4 +2t +at ) - 2t + 2 * ( 1-t-at) = - 6
( alle Terme mit t und a sind verschwunden )
L stimmt mit der rechten Seite der Gleichung von E überein.,
w.z.b.w.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 23:17: |
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Hi Alex,
Der zweite Teil Deiner Aufgabe ist schnell gelöst,
ich biete ihn Dir an als Gutenacht-Geschichte :
c) Wir werden erleben, dass eine solche Gerade
gar nicht existiert !
Setzen wir die Bedingung an
Mit u = { 2 + a ; 2 ; - 1 - a } als Richtungsvektor von ha,
und dem Richtunsvektor v = [1 ; 0 ; 1 } von g
berechnet man den Winkel w zwischen den Vektoren so
cos (w) = [Skalarprodukt u v] / [Produkt der Beträge von u und v}]
Setzt man nun alles ein was man weiss, so kommt:
½ = [2+ a-1-a] / [ wurzel (2a ^ 2 + 6 * a +9) * wurzel(2) ]
Vereinfache und quadriere; es ergibt sich die quadratische
Gleichung für a :
a ^ 2 + 3 a + 4 = 0, welche nur komplexe Lösungen hat !
Anm: Dass diese Aufgabe keine Lösung hat, rührt davon her,
dass der Neigungswinkel omega bezüglich der Ebene E
grösser als 60° ist
Man berechnet leicht : cos(omega*) =2*wurzel(2) / 3 , daraus
omega = 90° - omega* = 70.53°
d)
1.Methode :
Wir schneiden g mit E ;durch Einsetzen kommt:
2 * (-2+s) +0 +2*(3+s)= - 6 daraus s = - 2
Durchstosspunkt: D(- 4 / 0 / 1 ) ;dieser Punkt fällt mit dem
Punkt S zusammen
2.Methode
Wir setzen die x-Werte einerseits und die y-Werte andrerseits
aus den Geradengleichungen für ha und g einander gleich
und lösen das System nach t und s auf:
wir erhalten t = 0 und s = -2
Durch diese Werte ist aber auch die Gleichung befriedigt,
die durch Gleichsetzung der z-Koordinaten
aus den beiden Geradengleichungen entsteht und zwar
für alle a-Werte .
Wiederum erhalten wir den Punkt S von oben.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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