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Linda (Lindl)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 09:39: | 
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Folgende Aufgabe steht an, wer kann mir helfen:
Ermitteln sie je eine Gleichung der Tangenten an die Ellipse in den Punkten:
P1(4;y1)mit y1>0
P2(4;y2)mit y2<0
P3(-4;y3)mit y3>0 und
P4(-4;y4)mit y4<0
Zeigen Sie, daß die Schnittpunkte dieser Tangenten Eckpunkte von einem Rhombus sind.
Berechnen Sie von diesem Rhombus den Flächeninhalt. |
Linda (Lindl)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 10:10: |
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Die vorhergehende Aufgabe war unvollständig, sorry
Folgende Aufgabe steht an, wer kann mir helfen:
In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Ellipse durch die Gleichung
9x^2 + 25y^2 = 225 gegeben
Ermitteln sie je eine Gleichung der Tangenten an die Ellipse in den Punkten:
P1(4;y1)mit y1>0
P2(4;y2)mit y2<0
P3(-4;y3)mit y3>0 und
P4(-4;y4)mit y4<0
Zeigen Sie, daß die Schnittpunkte dieser Tangenten Eckpunkte von einem Rhombus sind.
Berechnen Sie von diesem Rhombus den Flächeninhalt. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 20:00: |
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Hi Linda
Prolog
Folgende Information zur Ellipsentangente ist für
die Lösung Deiner Aufgabe nützlich
Die zur vorgegebenen Ellipsengleichung E gehörige
Tangentengleichung mit dem auf der Ellipse
liegenden Berührungspunkt P1(x1/y1) lautet:
9 * x1 * x + 25 * y1 * y = 225 .............................(I)
(Polarform der Ellipsengleichung)
Wir bestimmen die vier Berührungspunkte und setzen
dann die Koordinaten in die Gleichung (I) ein; y1 ergibt
sich aus der Gleichung (x1 = 4 in E eingesetzt) :
9 * 16 + 25 * y1 = 225 zu y1 = 9/5 = 1.8
Da die Ellipse bezüglich der Koordinatenachsen
symmetrisch ist, erhalten wir die y-Werte der anderen
Punkte auf einen Schlag, ihre Werte sind
plus / minus 9/5 = plus/minus 1.8.
Also:
P1 (4 / 1.8), eingesetzt in (I) gibt die erste Tangente t1,
t1: (vereinfachte Gleichung) : 4 x + 5 y = 25; analog:
P2 ( 4 / - 1.8 ) t2 :4 x - 5 y = 25
P3 (-4 / 1.8 ) t3: -4 x + 5 y = 25
P4 (-4 / -1.8 ) t4: -4 x - 5 y = 25
Die Schnittpunkte dieser Tangenten mit den Koordinatenachsen
sind: A( 6.25 / 0) , B ( 0 / 5) , C ( -6.25 / 0 ) ,D ( 0 / - 5 ).
Das Viereck ABCD ist ein Rhombus, weil die Diagonalen
(sie liegen auf den Koordinatenachsen) aufeinander senkrecht
stehen und sich gegenseitig halbieren).
Die Fläche des Vierecks ist F = 2* 6.25 * 5 = 62.5.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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