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Peter
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 17:12: | 
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Hallo zusammen,
hier habe ich ein paar hochinteressante Integrale, bei denen mir der entscheidenen Kniff fehlt.
1.)
Integral 1/(a-sin(x)) dx
mit a ungleich 1 (a = 1 habe ich schon gelöst!)
2.)
Integral (sin(x))/(1-sin(x)) dx
3.)
Integral (x)/(1-sin(x)) dx
Für eine Lösung bin ich dankbar!
Gruß
Peter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 10:39: |
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Hi Peter,
Wir wollen eines Deiner hübschen Integrale lösen,
beispielsweise Nr.2.
Am besten eignet sich das Substitutionsverfahren
mit den Rationalisierungsformeln des Tangens des halben
Winkels
Wir benötigen Umrechnungsformeln aus der Goniometrie,
die wir Formelsammlungen entnehmen, wenn sie nicht
präsent sein sollten.
Wir substituieren also:
tan (x/2) = t , daraus sin x = 2 t / (1 + t ^ 2) ;
durch Ableiten
[ wir benützen für die Ableitung von f = tan z die Form
df/dz = 1 + (tan z)^2 ]
erhalten wir für die Differentiale dx und dt:
½*[1+ ( tan(x/2) ^ 2] dx == dt oder kürzer:
½*(1+t^2)*dx = dt,
daraus: dx = 2*dt/ (1 + t^2).
Setzt man alles im gegebenen Integral ein, so erhält man:
für das gesuchte Integral J2 zunächst:
J2 = int [ 4*t /{(1+ t^2) ^2*(1 -2t/(1+t^2)}] * dt und nach
gehöriger Vereinfachung:
J2 = 4*int [ t / {(1+ t ^ 2 )* ( 1 -t ) ^ 2 } * dt ]
Der Integrand wird in Partialbrüche zerlegt:
Ansatz:
t / {(1+t^2)*(1-t)^2)} =
( A* t + B ) / (1+t^2) + ( C * t + D ) / ( 1 - t )2
Wegschaffen der Nenner und Koeffizientenvergleich liefert
das Gleichungssystem:
A + C = 0 , - 2 * A + B + D = 0 , A + C - 2 * B = 1 , B + D = 0
Lösungen: A = C = 0 , B = D = - ½
Setzt man dies im Integral J2 ein und integriert ,so kommt:
J2 = 4 * [ -1/2*arc tan t + ½ / (1-t) ] = - 2 * arc tan t + 2 / ( 1 - t)
Macht man die Substitution rückgängig
( beachte: arc tan {(tan u )} ) = u)
so erhält man das Schlussresultat:
J2 = - x + 2 / [1 - tan (x/2) ]
Es ist reizvoll , durch Ableitung die Probe zu machen
und sich dabei selbst zu bestätigen!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
MontyBurns
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 21:14: |
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Hallo,
ich habe in der Partialbruchzerlegung
allerdings für A= - 1/2 und B = 1/2 heraus. Entsprechend lautet mein Integral dann - 2 / [1-...] - x.
Für mich stellt sich aber die Frage, wieso man genau diesen Ansatz für die Partialbruchzerlegung wählt. Mein Ansatz mit
= A / (1-t)^2 + B /(1-t) + (Ct+D)/(t^2+1)
versagte leider....wieso???? Ich habe doch alle Unebenheiten (irreduzibler Faktor, Mehrfachheit eines Polynoms usw.) berücksichtigt....versteh ich nicht...
Gruß
Monty Burns |
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