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Beitrag |
    
Obi-Wan (Obiwan)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 20:33: | 
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Wie sieht die Faktorisierung hiervon aus?
P(z) = z^3 - (7+3i)*z^2 + (17+12i)*z - 15(1+i) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 15:05: |
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Hi Obi-Wan,
Wir bestimmen die Nullstellen der kubischen Funktion
F(z)
und erhalten:
z1 = 2 - i1, z2 = 2 + i1 ,z3 = 3 + i3.
Die gesuchte Faktorzerlegung von F(z) lautet daher
F(z) = (z - z1) * (z - z2 ) * ( z - z3)
Fasst man die ersten beiden Faktoren zu einer
reellen quadratischen Funktion zusammen,
so kommt:
F(z) = (z ^ 2 -4 z + 5 ) * ( z - 3 - i3)
Herleitung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 15:15: |
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Hi Obi-Wan,
Herleitung: wohl oder übel müssen wir eine grössere
Berechnung im Bereich der komplexen Zahlen in Angriff
nehmen:
Wir setzen: a = -7 - i3 , b = 17 + i12 , c = - 15 - i15.
Lösungsansatz z = u + iv (u,v reell)
Wir setzen dies in die Gleichung
F(z) = z^3 + az^2 +bz +c = 0 ein
und trennen Real-und Imaginärteil
Wir erhalten zwei Gleichungen für u und v
( beide sind vom dritten Grad! ) ; sie lauten
u^3 - 3u*v^2 -7u^2 +7v^2 +6u*v + 17 u - 12 v - 15. = 0 &
3u^2* v - v^3 - 14 u*v - 3u^2 +3v^2 + 17 v + 12u - 15 = 0
Wir testen, ob für eine der Lösungen u = v gelten kann.
Der Test fällt positiv aus:
Für u = v lautet die erste Gleichung:
-2u^3+ 6u^2 +5u - 15 = 0,mit den Lösungen u1 = 3 ,
u2 = wurzel(10) / 2 , u3 = - wurzel(10) / 2
die zweite Gleichung lautet:
2v^3 - 14 v^2 + 29 v - 15 = 0, mit den Lösungen v1 = 3 ,v2 =....
Uns interessiert in diesem Zusammenhang nur, dass u = v = 3
beide Gleichungen befriedigt
Somit ist z3 = 3 + i3 eine Lösung der komplexen Gleichung
F(z) = 0 (man mache unbedingt die Probe!)
Die anderen beiden Lösungen ergeben sich als Nullstellen des
quadratischen Polynoms P(z) = z^2 - 4*z +5 ,welches sich
durch die Division F(z) / (z - z3) ergibt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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