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Beitrag |
    
Markus Bode (Schlupp)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 10:05: | 
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Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis (x-1)²+(y-1)²=25, die parallel zur Geraden g verlaufen. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
g: 3y+4x=2 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 17:59: |
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Hi Markus
Die Gleichungen der gesuchten Tangenten lauten:
4x + 3y = 32 und
4x + 3y = -18.
Du siehst, dass die linken Seiten dieser Gleichungen
mit der linken Seite der Gleichung von g zusammenfällt.
Durch diese Eigenschaft der Gleichungen kommt die
Parallelität der Geraden zum Ausdruck.
Herleitung
Durch den Mittelpunkt M(1/1) des Kreises legen wir die zu g
senkrechte Gerade s und schneide diese in den Punkten S und T
mit dem Kreis.
Steigung von g: mg = - 4 / 3 , daraus folgt:
Steigung von s: ms = 3 / 4
Gleichung von s:
y - 1 = 3 / 4 * ( x - 1) ,
daraus (y-1) ^2 eingesetzt in die Kreisgleichung
ergibt schliesslich (x - 1 ) ^ 2 = 16 oder
x - 1 = 4 bezw. -4 , daraus xA =5 und yA = 4
bzw. xB = - 3 und yB = - 2
Ansatz für die Gleichung der Tangente t (Parallelität zu g ):
4x + 3y = c
Für die erste Tangente durch A ergibt sich durch Einsetzen
der Koordinaten von A die Gleichung :
4x + 3y = 32.
Analog bestimmt man die zweite Tangente,
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:04: |
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Hi Markus,
die Steigung der gegebenen Geraden ist -4/3.
Die gesuchten Tangenten stehen (wie alle Tangenten) senkrecht auf der Geraden durch den Kreismittelpunkt (1,1) und die Kreispunkte, in denen die Tangenten angelegt werden.
Eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Geraden mit Steigung m steht, hat die Steigung -(1/m), hier also 3/4.
Eine Gerade mit Steigung 3/4, die durch den Punkt (1,1) geht hat die Gleichung: y = h(x) = 3/4 x + 1/4.
Nun suche also die Schnittpunkte von h(x) mit dem Kreis:
(x-1)2 + (3/4 x + 1/4 - 1)2 = 25
<=> (x-1)2 + 9/16 * (x - 1)2 = 25
<=> (x-1)2 * ( 1 + 9/16) = 25
<=> (x-1)2 = 16
=> x1 = -3 und x2 = 5.
Das bedeutet nun, daß die Tangenten an den Kreis für x1 = -3 und x2 = 5 die geforderte Steigung haben. Die Koordinaten der Kreispunkte, in denen die Tangenten anliegen sind:
P1 = ( -3 , -2 ) und P2 = ( 5 , 4 ).
Beim Ausrechnen der y-Werte aus der Kreisgleichung muß man darauf achten, daß man von den jeweils 2 denkbaren Lösungen die auswählt, die im richtigen Quadranten liegt (für -3 links unten und für 5 rechts oben).
Nun müssen wir noch die gegebene Gerade g so verschieben, daß sie durch diese gefundenen Punkte
geht.
Es ist g(x)=y=(1/3)*(-4x+2), darum suche c1 und c2 mit t1(x):=g(x)+c1 geht durch P1 und t2(x):=g(x)+c2 geht durch P2.
t1 und t2 sind die gesuchten Tangentengleichungen.
-2 = (1/3)*((-4) * (-3) + 2) + c1
4 = (1/3)*((-4) * 5 + 2) + c2
=> c1 = -20/3 und c2 = 10
Also t1(x) = (1/3)*(-4x+2) - 20/3
und t2(x) = (1/3)*(-4x+2) + 10
Hoffentlich habe ich micht nicht verrechnet.
Probe:
t1(-3) = (1/3)*(12+2) - 20/3 = 14/3-20/3 = -6/3 = -2. Das stimmt.
t2(5) = (1/3)*(-20+2) + 10 = -18/3+10 = 4. Das stimmt auch.
Gruß
Matroid |
Markus Bode (Schlupp)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 18:07: |
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> P1 = ( -3 , -2 ) und P2 = ( 5 , 4 ).
Ich habe genau das Gegenteil raus (B1 (-2, -3), B2 (4, 5).
ich habe es mit der pq-formel gelöst.
x²-2x-8=0
p=-2
q=-8
X1=1+ Wurzel 9
X1=1+ 3 = 4
X2=1- 3 = -2
also sind die X-Werte 4 und -2. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 18:28: |
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Hi Markus,
mach Dir doch mal eine Skizze. Ein Kreis um (1,1) mit Radius 5. Die fallende Gerade g durch (0,1/2) und (2/3,0). Wenn man durch Parallelverschiebung diese Gerade zu einer Tangente an den Kreis machen will, dann liegen die Berührpunkte im 1. und dritten Quadranten des Kreises (rechts oben und links unten).
Beim Wurzelziehen muß man von den jeweils 2 möglichen Lösungen diejenige auswählen, die im richtigen Quadranten liegt.
Gruß
Matroid |
Evelyn
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 21:52: |
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Kann mir jemand weiterhelfen??
Welche Gleichungen haben die Tangenten, die den Kreis K berühren? Wie groß ist der Schnittwinkel der Tangenten?
Danke im voraus!! |
anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 22:43: |
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Die Tangenten sind doch parallel! |
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