| Autor |
Beitrag |
    
Elampe
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 18:54: | 
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Könnte mir mal jemand folgende Aufgabe vorrechnen?
Führen Sie für die Quadrik
4xy - z² + x / sqr(2) - y / sqr(2) = 0
die Hauptachsentransformation durch, und geben Sie den geometrischen Typ der Fläche an. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 15:28: |
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Hi Elampe,
Erster Schritt
Wir ermitteln zuerst die Schnittkurve c der gegebenen Fläche
zweiter Ordnung, indem wir in der Gleichung z = 0
setzen:
Die Koordinatengleichung von c lautet:
4 x y + x / wurzel(2) - y / wurzel(2) - 1 = 0
Diese Gleichung stellt eine Normalhyperbel in der
(x,y)-Ebene dar
( Normalhyperbel:die Asymptoten stehen aufeinander senkrecht ).
Den Mittelpunkt dieser Hyperbel, der zugleich Mittelpunkt der
unserer Fläche zweiter Ordnung ist,
ermitteln wir auf zwei Arten.
Das Resultat sei vorweggenommen ; es gilt :
xM = 1 / (4*wurzel (2)) , yM = - 1 / (4* wurzel (2))
1.Methode
Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der beiden Asymptoten a1,a2;
a1 ist parallel zur x-Achse, a2 parallel zur y-Achse..
Wir dividieren die Gleichung von c durch xy und lassen einmal x
gegen unendlich und ein andermal y gegen unendlich gehen
Es gilt:
4 + 1 / y * 1 / wurzel (2) - 1 / x * 1 / wurzel(2) - 1 / (xy) = 0
Die Gleichung der Asymptote a1 erscheint, wenn wir x gegen
unendlich laufen lassen; es kommt 4 + 1 / y * 1 / wurzel(2) = 0
oder y = - 1 / (4* wurzel(2))
Die Asymptote a2 erhalten wir, wenn y gegen unendlich strebt,
nämlich: 4 - 1 /x * 1 / wurzel (2) oder x = 1 / (4*wurzel(2)),
wie in der Voraussage angekündigt wurde
2.Methode
Wir differenzieren die Gleichung von c implizit nach x
und erhalten:
4 * y' + 1 / wurzel(2) - y ' / wurzel(2) = 0
Auflösung nach y':
y ' = - [ 4 * y + 1 / wurzel(2 )] / [4* x - 1 / wurzel(2)]
Setzt man y' = 0 , d.h. den Zähler gleich null, so erhält man gerade
die Gleichung der Asymptote a1, setzt man hingegen 1 / y' ,
d.h. den Nenner gleich null, so erhält man die zur y-Achse parallele
Asymptote,
Bei Parallelverschiebung des (x,y)-Systems auf M als neuer Nullpunkt
mit den
Transformationsgleichungen:
x = X + 1 / (4*wurzel(2)) , y = Y - 1 / (4*wurzel(2)) bekommt c
eine einfachere Gleichung in X,Y, nämlich.
4 * X * Y = 7 / 8,
wie man leicht nachrechnet
In einer Fortsetzung dieser Arbeit unterziehen wir die quadratische
Form
F (X,Y,Z) = 4 * X * Y - Z ^ 2
einer Hauptachsentransformation, und wir erhalten
in einem weiteren neuen Koordinatensystem als Gleichung
unserer Fläche: -1* x ' ^ 2 + 2* y ' ^ 2 - 2 * z ' ^ 2 = 9 / 8
Wir erkennen die Fläche als zweischaliges Hyperboloid.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung
Rekapitulation:
wir haben nachgewiesen, dass die gegebene Fläche
zweiter Ordnung ( Quadrik ) einen Mittelpunkt M hat,
indem wir den Mittelpunkt M der Normalhyperbel c ,
in welcher die Fläche
die (x,y)-Ebene schneidet, bestimmten.
Der Punkt M ist Symmetriezentrum sowohl von c
als auch der gegebenen Fläche.
Durch eine Parallelverschiebung des (x,y)-Koordinatensystems
- neuer Nullpunkt in M - haben wir erreicht, dass die linearen
Terme x und y der Gleichung wegfallen.
In den neuen Koordinaten X,Y.Z lautet die Gleichung der Quadrik:
4 * X * Y - Z ^ 2 = 7 / 8.
Zweiter Schritt
Hauptachsentransformation der quadratischen Form
F(X,Y,Z) = 4 * X * Y - Z ^ 2
Zuerst ermitteln wir die symmetrische Matrix A = (aik) ,
welche zu dieser quadratischen Form gehört:
a11 , a22, a33 sind der Reihe nach die Koeffizienten
der rein quadratischen Glieder X^2,Y^2,Z^2
also :a11 = a22 = 0 , a33 = - 1.
a12 = a21 ist der halbe Koeffizient von X*Y; es gilt a12 = a21 = 2
a13 = a31 ist der halbe Koeffizient von Y*Z; es gilt a23 = a32 = 0
a23 = a32 ist der halbe Koeffizient von Z*X; es gilt a23 = a32 = 0
Damit ist die Matrix A definiert; wir bilden damit eine zweite
Matrix B, mit deren Hilfe wir die drei Eigenwerte L1,L2 ,L3 der
quadratischen Form F berechnen:; es gilt:
B = A - L * E, wobei E die (3,3)-Einheitsmatrix ist und L den
gesuchten Eigenwert L bezeichnet
Die Elemente von B sind der Reihe nach:
B11= - L , b12 = b21 = 2 , b22 = - L , b33 = - 1 - L ,
alle anderen bik sind null.
Wir finden L als Nullstelle der Determinante der Matrix B:
det (B) = 0 führt zunächst auf die charakteristische Gleichung (Säkulargleichung) :
L^3 + L^2 - 4 * L - 4 = 0
Die Lösungen (Eigenwerte) sind :L1 = - 1 , L 2 = 2 , L 3 = - 2
Diese Zahlen erscheinen als Koeffizienten der rein quadratischen
Glieder x ' ^ 2, y ' ^ 2 , z ' ^ 2, sodass die Gleichung der Quadrik
nach vollzogener Hauptachsentransformation lautet:
x ' ^ 2 + 2 * y ' ^ 2 - Hi Christian,
Rekapitulation:
wir haben nachgewiesen, dass die gegebene Fläche
zweiter Ordnung ( Quadrik ) einen Mittelpunkt M hat,
indem wir den Mittelpunkt M der Normalhyperbel c ,
in welcher die Fläche
die (x,y)-Ebene schneidet, bestimmten.
Der Punkt M ist Symmetriezentrum sowohl von c
als auch von der gegebenen Fläche.
Durch eine Parallelverschiebung des (x,y)-Koordinatensystems
- neuer Nullpunkt in M - haben wir erreicht, dass die linearen
Terme x und y der Gleichung wegfallen.
In den neuen Koordinaten X,Y.Z lautet die Gleichung der Quadrik:
4 * X * Y - Z ^ 2 = 7 / 8.
Zweiter Schritt
Hauptachsentransformation der quadratischen Form
F(X,Y,Z) = 4 * X * Y - Z ^ 2
Zuerst ermitteln wir die symmetrische Matrix A = (aik) ,
welche zu dieser quadratischen Form gehört:
a11 , a22, a33 sind der Reihe nach die Koeffizienten
der rein quadratischen Glieder X^2,Y^2,Z^2
also :a11 = a22 = 0 , a33 = - 1.
a12 = a21 ist der halbe Koeffizient von X*Y; es gilt a12 = a21 = 2
a13 = a31 ist der halbe Koeffizient von Y*Z; es gilt a23 = a32 = 0
a23 = a32 ist der halbe Koeffizient von Z*X; es gilt a23 = a32 = 0
Damit ist die Matrix A definiert; wir bilden damit eine zweite
Matrix B, mit deren Hilfe wir die drei Eigenwerte L1,L2 ,L3 der
quadratischen Form F berechnen:; es gilt:
B = A - L * E, wobei E die (3,3)-Einheitsmatrix ist und L den
gesuchten Eigenwert L bezeichnet
Die Elemente von B sind der Reihe nach:
B11= - L , b12 = b21 = 2 , b22 = - L , b33 = - 1 - L ,
alle anderen bik sind null.
Wir finden L als Nullstelle der Determinante der Matrix B:
det (B) = 0 führt zunächst auf die charakteristische Gleichung (Säkulargleichung) :
L^3 + L^2 - 4 * L - 4 = 0
Die Lösungen (Eigenwerte) sind :L1 = - 1 , L 2 = 2 , L 3 = - 2
Diese Zahlen erscheinen als Koeffizienten der rein quadratischen
Glieder x ' ^ 2, y ' ^ 2 , z ' ^ 2, sodass die Gleichung der Quadrik
nach vollzogener Hauptachsentransformation lautet:
- x ' ^ 2 + 2 * y ' ^ 2 + 2 * z ' ^2 = 7 / 8
Diese Gleichung stellt ein zweischaliges Hyperboloid dar.
Fortsetzung folgt.
Bis dann !
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 22:01: |
|
Hi Elampe,
Es folgen noch ein paar Schlussbemerkungen
1.
Als Ergebnis der Hauptachsentransformation ermitteln wir
Die Gleichung
- x ' ^ 2 + 2 * y' ^ 2 - 2 * z ' ^ 2 = 7 / 8.
Die allgemeine Gleichung eines zweischaligen Hyperboloids
lautet:
- x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 - z ^ 2 / c ^ 2 = 1.
Somit gilt für unsere Fläche:
a ^ 2 = 7 / 8 , b ^ 2 = 7 / 16 , c ^ 2 = 7 / 16
Dabei sind a und c die Halbachsen derjenigen Ellipse, welche
von einer zur y ' - Achse senkrechten Ebene für y absolut > b
aus der Fläche geschnitten wird.
Uebrigens: Rotationsflächen entstehen nur, wenn zwei der
Eigenwerte gleich sind ; dies trifft in unserem Fall nicht zu.
2.
Die Transformationsmatrix T , wirksam beim Uebergang vom
X,Y,Z - System zum x',y',z'-System, eine orthogonale Matrix,
kann mit Hilfe der Eigenvektoren der Matrix A gewonnen werden
Anschaulich:
Die neue x'-Achse und die neue y'-Achse liegen in der
(X,Y)-Ebene , gehen durch M und bilden mit der X-Achse
den Winkel - 45° bezw. - 135 °.
Die z'-Achse geht durch M und steht senkrecht zur (X,Y)-Ebene
3.
Um den Typus und die Daten einer Fläche zweiter Ordnung
zu ermitteln, gibt es schematische Verfahren, vergleichbar mit
den abenteuerlichen Wegen bei der Ermittlung der Pflanzenarten
mit Bestimmungsbüchern
Die Auswahl ist gross, die Anzahl der Fehlerquellen ebenso
Zur Verfügung stehen:
I
Eigentliche Flächen zweiter Ordnung
Reelles Ellipsoid
Imaginäres Ellipsoid
Einschaliges Hyperboloid
Zweischaliges Hyperboloid
Elliptisches Parabololid
Hyperbolisches Paraboloid
II
Uneigentliche Flächen zweiter Ordnung
Reeller Kegel
Imaginärer Kegel
Elliptischer Zylinder
Hyperbolischer Zylinder
Parabolischer Zylinder
III
Zwei reelle verschiedene Ebenen
Zwei zusammenfallende Ebenen
Zwei imaginäre Ebenen
Die allgemeine Gleichung einer Fläche hat zehn Koeffizienten;
Der Freiheitsgrad bei einer Bestimmung ,z.B durch Punkte, ist
daher neun, weil einer der Koeffizienten mit 1 normiert
werden kann.
So viel zu diesem spannenden Thema !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
. |
Elampe
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:27: |
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UI! Das nen ich ne wirklich umfassende Antwort. Den Namen "megamath" trägst du nicht zu unrecht.
Danke!
Elampe & ceejay |
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