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Beitrag |
    
Mariechen
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 18:47: | 
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Bitte helft mir!
Brauch unbedingt mal ne gute Note,is aber ne schwierige Aufgabe!
Bestimme eine Gleichung der Ebene durch A (2;3;4)
B (6;5;16), welche vom Ursprung den Abstand 2 hat. Bitte seid so lieb! Ich brauch die Lösung spätestens morgen früh 6 Uhr, bitte! |
Ralf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 22:38: |
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bringe es auf die Hessesche Normalform.
Hattet ihr die?
Oder besser. Ihr hattet sicher eine Abstandsformel "Punkt zu Ebene". Setze dort den Ursprung und A und B ein.
Ralf |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 10:33: |
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Hi Mariechen,
In einem Vorspann soll das Ergebnis Deiner Aufgabe
notiert und kontrolliert werden:
Es gibt zwei Ebenen T1 und T2, welche die Bedingungen
erfüllen. Die Koordinatengleichungen dieser Ebenen lauten:
T1 : 6 x - 18 y + z = - 38
T2 : 2 x + 2 y - z = 6
Kontrolle
(1) Jede der beiden Ebenen geht durch die Punkte A (2 / 3 / 4 )
und B ( 6 / 5 / 16), weil die Koordinaten dieser Punkte die
Ebenengleichungen befriedigen.
(2) Der Abstand des Nullpunktes von einer der Ebenen ergibt sich
mit Hilfe der Hesseschen Normalform der Ebenengleichung.
Diese Normalformen lauten:
T1: ( 6 x - 18 y + z + 38 ) / wurzel ( 6 ^ 2 + 18 ^ 2 + 1 ^ 2) = 0
Die Wurzel im Nenner ist ganzzahlig, nämlich 19.
Setzt man die Koordinaten x = y = z = 0 des Nullpunktes in die
Normalform ein, so kommt als Abstand d = 38/19 = 2
wie es sein muss.
T2: (2 x + 2y - z - 6 ) / wurzel( 2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2 ) = 0
Die Wurzel im Nenner ist ganzzahlig , nämlich 3
Setzt man die Koordinaten x = y = z = 0 des Nullpunktes in die
Normalform ein, so kommt als Abstand d = - 6 / 3 = - 2 heraus.,
wie es sein muss.
Herleitung
Lösungsstrategie.
Wir bestimmen eine Ebene T, welche durch die gegebenen Punkte
A und B geht und die Kugel mit Radius r = 2 und Mittelpunkt
im Nullpunkt O berührt.
T ist somit eine Tangentialebene dieser Kugel, deren Berührpunkt
P1 (x1 / y1 / z1 ) zu bestimmen ist.
Die Koordinatengleichung dieser Kugel lautet
x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4
Die Koordinatengleichung einer Tangentialebene mit dem genannten Berührpunkt lautet
T: x1* x + y1 * y + z1 * z = 4
( Die vier auf der rechten Seite ist das Quadrat von r = 2 ).
Die drei Unbekannten x1,y1,z1 erfüllen die folgenden
drei Gleichungen:
1. 2 x1 +3 y1 + 4 z1 = 4 , da A auf T liegen muss
2. 6 x1 +5 y1 + 16 z1 = 4 , da B auf T liegen muss
3. x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2 = 4, da der Berührpunkt P1
auf der Kugelfläche liegt
Aus den ersten beiden Gleichungen berechnen wir die
Beziehungen:
z1 = y1 - 2 , x1 = 6 - y1 / 2
Diese Terme setzen wir in die dritte Gleichung ein und erhalten
nach gehöriger Vereinfachung die quadratische Gleichung für y1
57 * y1 ^ 2 - 184 * y1 + 144 = 0 mit den Lösungen
36 / 19 und 4/3 .
(1) : y1 = 36 / 19 ,daraus x1 = - 12 / 19 und z1 = - 2 / 19
Tangentialebene T1: wie oben angegeben.
(2) y1 = 4 / 3 , daraus x1 = 4 / 3 und z1 = - 2 / 3 .
Tangentialebene T2 : wie oben angegeben.
Anmerkung
In einer zweiten Lösungsmethode stellt man zunächst die
Gleichung des Ebenenbüschels mit der Geraden AB
als Büschelachse auf und sucht dann mit Hilfe der
Hesseschen Formel diejenigen beiden Ebenen des Büschels
heraus, welche vom Nullpunkt den Abstand 2 haben.
Dies sei dem geneigten Leser überlassen!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Mariechen
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 15:01: |
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GANZ GANZ LIEBEN DANK H.R.Moser,megamath!
Danke auch für das schön erklärte Lösungsverfahren, ich hab es sogar verstanden klasse, also dann laßt es Euch allen gut gehen! Ihr seid klasse! |
H,R,Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 21:51: |
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Hi Mariechen,
Herzlichen Dank für Deine anerkennenden Worte,
welche uns für die täglichen Kleinarbeit
etwas Auftrieb geben können.
Nun zur Sache.
1.
Bei meiner Arbeit von heute Mittag hat sich ein Tippfehler
eingenistet:
Am Anfang muss es richtig heissen:
x1 = 6 - 7 * y1 / 2 , NICHT x1 = 6 - y1 / 2.
Der Rest sollte richtig sein !
2.
Ich füge eine Lösung der genau gleichen Aufgabe bei,
die ich am 18.September a.c. in diesem Forum auf eine
etwas andere Art gelöst habe.
Ich bin überzeugt, dass Du alle Lösungsschritte auch hier
nachvollziehen kannst.
Bis zum nächsten Mal !
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath.
Anhang
Wir säumen das Pferd am Schwanz auf
und diskutieren die Aufgabe zuerst anhand des Resultates
Es gibt zwei Ebenen der verlangten Art,
Die Gleichungen sind
E1: 2 x + 2 y - z - 6 = 0
E2 :- 6 x +18 y - z - 38 = 0
Kontrolle:
1.
Die Koordinaten beider Punkte A( 2 / 3 / 4) und B( 6 / 5 / 16 )
befriedigen je beide Gleichungen ; davon überzeugen wir uns
durch eine einfache Kopfrechnung !
2.
Beide Ebenen haben vom Nullpunkt einen Abstand,
dessen Absolutbetrag 2 ist..
Davon überzeugen wir uns mit der Formel von Hesse.
Wir bringen die Gleichungen auf Normalform (NF).
NF von E1: ( 2 x + 2 y - z - 6 ) / wurzel (2^2 + 2^2 + 1^2) = 0
Man erhält den Abstand h1 des Nullpunktes O von E1,
indem man x = y = z = 0 in die NF einsetzt:
h1= -6 / wurzel(9) = -2
NF von E2:: (- 6x +18y - z - 38 ) / wurzel (6^2 +18^2 +1^2) = 0
x = y = z = 0 eingesetzt gibt h2 (Abstand O - E2) :
h2 = - 38 / wurzel(361) = - 2
Herleitung
Die Koeffizienten a,b,c,d in einer Ebenengleichung sind nur
bis auf Proportionalität bestimmt.
Daher können wir einen der Koeffizienten festlegen
Wahl: d = 1 (die Ebene geht sicher nicht durch den Nullpunkt,
also ist d keineswegs null !)
Ansatz für die Gleichung der gesuchten Ebene E:
a x + b y +c z = 1
Nun setzen wir die Koordinaten der gegebenen Punkte A und B
ein und erhalten die Gleichungen:
2a + 3b + 4c = 1
6a + 5b + 16 c = 1
Auflösung dieses Systems nach a und b.
Wir haben nämlich die Absicht, a und b durch die
dritte Konstante c auszudrücken
Wir finden leicht:
a = - 1 / 4 - 7 /2 * c
b = c + 1 / 2
Diese Werte für a und b tragen wir in den
obigen Ansatz für die Gleichung der Ebene E ein,
und wir bekommen nach Wegschaffung aller Brüche:
(-1 - 14 c ) x + ( 2 + 4 c ) y + 4 c z - 4 = 0
Mit dem Divisor W =wurzel [(-1-14c)^2 +(2+4c)^2 + 16 c^2] =
wurzel ( 228 c^2 + 44c +5 ) schreiben wir E in Normalform:
[ ( - 1 - 14 c ) x + ( 2 + 4c ) y + 4 c z - 4 ] / W = 0
Nun realisieren wir die Bedingung
"Abstand des Nullpunktes O von E ist + - 2 " und erhalten eine
Wurzelgleichung für c
4 / W = 2
Wir quadrieren und schaffen den Nenner weg
Durch Vereinfachung entsteht die quadratische Gleichung für c :
228 c ^ 2 + 44 c + 1 = 0 mit den Lösungen c1, c2:
c1 = - 1 / 6 , daraus a1 = 1/3 , b1 = 1 /3
c2 = - 1 / 38, daraus a2 = - 3 / 19 , b2 = 9 / 19
Setzt man diese beiden Wertetripel in den Ansatz
der Ebenengleichung ax + by +cz -1 = 0 ein,
so erhält man die eingangs erwähnten Lösungen . |
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