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Laverne
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Oktober, 2000 - 06:57: | 
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Ich habe absolut keinen Idee, wie ich den Beweis des Satzes von Ceva mit Hilfe von Vektoren bringen soll.
a1/a2 * b1/b2 * c1/c2 = 1
In Worten: Die Seiten eines Dreiecks werden durch die Schwerlinien in einem bestimmten Verhältnis geteilt. Die Verhältnisse der einzelnen Seiten multipliziert ergeben 1. |
poggi
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Oktober, 2000 - 09:36: |
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Was nennst Du Schwerlinien? |
Laverne
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Oktober, 2000 - 13:52: |
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Tschuldigung, in meinem Heft hatte ich nur eine Skizze, da sah der Punkt innerhalb des Dreiecks aus wie der Schwerpunkt. Es ist aber ein beliebiger Punkt P. Durch P und die Eckpunkte verlaufen Geraden, die die jweiligen Dreiecksseiten in einem bestimmten Verhältnis teilen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 06:51: |
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Hi Laverne
Es folgen drei verschiedenartige Beweise des Satzes von Ceva.
Vorerst: ad personam:
Der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647- 1734)
veröffentlichte einen Beweis des Satzes in seiner Schrift
"De lineis rectis" im Jahre 1678.
Dort ist auch ein Beweis des bekannten Satzes von Menelaus
enthalten.
Der Wortlaut des Satzes:
Durch einen Punkt P in der Ebene des Dreiecks ABC
(beispielsweise im Inneren des Dreiecks))sind die Ecktransversalen
AP , BP , CP gezogen , welche die Gegenseiten oder deren
Verlängerungen in den Punkten A', B', C' schneiden.
Auf den Seiten AB, BC, CA entstehen die Teilverhältnisse
L = AA' / AB , m = BB' / B'C , n = CC' / C'A.
Dann gilt :
Das Produkt dieser drei Teilverhältnisse ist konstant, nämlich -1:
L * m * n = - 1.
Dabei werden die Teilverhältnisse negativ oder positiv gezählt,
je nachdem die Teilpunkte zwischen den beiden Streckenendpunkten
oder ausserhalb der Strecken liegen.
Beweis I
Der folgende elementare Beweis ist dem Beweis von Ceva
nachgebildet. Er benützt die Aehnlichkeit von Dreiecken und die
Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken.
Wir legen zwei zur Gerade CC' je senkrechte Geraden :
die Senkrechte durch A schneidet CC ' im Punkt F ,
die Senkrechte durch B schneidet CC ' im Punkt G.
Die beiden rechtwinkligen Dreiecke AFC ' und BGC ' sind
wegen der Uebereinstimmung in den Winkeln aehnlich.
Daher gilt:
L= A C ' / C ' B = AF / BG .....................................................( I )
Dabei sind AF und BG die Höhen der Dreiecke CPA bezw.
CPB ; diese Dreiecke haben die gemeinsame Grundlinie CP.
Wir berechnen das Verhältnis der Flächeninhalte
FL(CPA) und FL(CPB) dieser Dreiecke
Es wird sich herausstellen, dass dieses Verhältnis gerade mit dem
Teilverhältnis L übereinstimmt
Es kommt:
AF / BG = [1/2* CP *AF] / [1/2 * CP* BG] = FL (CPA) / Fl(CPB);
Benützt man noch (I), so erhält man:
L= FL(CPA) / FL(CPB) ................(3),
durch zyklische Vertauschung d.h.
A durch B , B durch C , C durch A ,L durch m , m durch n ,
n durch L ersetzen , P fest lassen, entstehen die Relationen:
m = FL(APB) / FL(APC).................................(4)
n = FL(BPC) / FL(BPA)..................................(5)
Multipliziert man die drei Gleichungen (3), (4), (5) miteinander,
heben sich sämtliche Flächeninhalte weg , und man erhält unmittelbar
den Satz von Ceva:
L*m*n = 1
Fortsetzung folgt
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 09:31: |
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Hi Laverne,
Es folgt ein zweiter Beweis des Satzes von Ceva
mittels analytischer Geometrie
Beweis II
Wir machen von der gleichen Figur wie beim ersten Beweis
Gebrauch und benützen dieselbe Nomenklatur.
Der Punkt P wird als Ursprung O eines rechtwinkligen
Koordinatensystems gewählt.
Die Koordinaten der Ecken A , B , C sind:
xA,yA ; xB, yB; xC, yC
diejenigen der Punkte A' , B' , C' auf den Seiten
xA' , yA' ,etc.
Da die Verbindungsgerade C C ' durch den Punkt P geht
und dieser ,wie gesagt , mit O zusammenfällt, gilt:
yC ' / xC ' = yC / xC.......................... (1)
Wenn der Punkt C ' die Strecke AB so teilt, dass
AC' / C'B = L gilt, so erhält man für die Koordinaten
xC ' , yC' die Beziehungen :
xC ' = (xA + L* xB) / ( 1 + L ) , yC ' = (yA + L *yB) / (1 + L) ....(2)
Wir bilden mit (2) yC ' / xC ' und erhalten unter Verwendung
der Relation (1):
( yA + L * yB ) / ( xA + L * xB ) = yC / xC
Auflösung nach L liefert:
L = (xC * yA - xA * yC ) / ( xB * yC - xC * yB ) ......(3)
Durch zyklische Vertauschung entstehen daraus zwei
weitere Gleichungen:
m = (xA * yB - xB * yA) / ( xC * yA - x A * yC )......(4)
n = (xB * yC - xC * yB ) / ( xA * yB - x B * yA ) ....(5)
Die Gleichungen (3),(4),(5) werden miteinander multipliziert,
und wiederum entsteht subito der Satz von Ceva:
L * m * n = 1; (das Vorzeichen ist schnell manuell geändert !)
Anmerkung
Die Zähler und Nenner der rechten Seiten der Gleichungen
(3),(4) und(5) stellen Flächeninhalte gewisser Dreiecke dar;
damit ist ein Zusammenhang mit der ersten Beweismethode
hergestellt.
Ende des zweiten Beweises.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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