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isabella (Sumsum)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 14:07: | 
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Hi Ihr!
Wer kann mir einen Ansatz geben wie ich dieses Bsp. am besten angehe???
Eine Ebene verläuft durch die Punkte A(2/1/7) B(8/-1/3) C(5/0/2).In welchem Punkt wird die Ebene von der x-Achse durchstoßen???
thx is@ |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 15:05: |
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Hallo isabella,
ich nenne a' den Ortsvektor zum Punkt A usw.
Dann ist die Menge der Punkte der Ebene
E = a' + l * (b'-a') + m * (c'-a).
Die Parametergleichung der x-Achse im Raum ist
G = (0/0/0) + n * [ (1/0/0) - (0/0/0) ]
= n * (1/0/0)
Um den Schnittpunkt von G mit E zu finen, muß man E = G setzen. Man erhält 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, die man lösen muß.
Ich hab die Lösung mit den von Dir gegebenen Punkten nicht ausgerechnet. Deshalb noch folgender Hinweis:
Wenn es eine Lösung gibt, findet man sie so.
Kann natürlich im allgemeinen (nicht unbedingt bei dieser Aufgabe) auch irgendetwas Unnormales vorkommen, etwa, das die Punkte A,B,C gar keine Ebene definieren, oder weil G parallel zur Ebene ist oder weil G in E liegt. Wenn bei derartigen Aufgaben mit der Parametergleichung für E oder dem Gleichungssystem G = E irgendwie nichts herauskommt, dann liegt das an derartigen Besonderheiten.
Gruß
Matroid |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 20:44: |
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Hi Isa,
Den Schnittpunkt der x-Achse mit einer Ebene E
findet man blitzschnell,
wenn die Ebene durch eine Koordinatengleichung
gegeben ist.
Sei diese in allgemeiner Form vorgelegt
( Koeffizienten a, b , c ,d ) : a x + b y + c z = d
mit a , b , c , d als gegebene Koeffizienten.
Da für alle Punkte der x-Achse gilt : y = 0 und z = 0,
erhält man für alle von 0 verschiedenen Werte von a
als x-Wert des Schnittpunktes S. xS = d / a.
Sonderfall:
Wenn a null ist, so liegt die Ebene zur x -Achse parallel
oder sie geht durch die x-Achse: wir haben keinen oder
unendlich viele Schnittpunkte.
In dem von Dir vorgelegten Fall lautet eine
Koordinatengleichung von E:
x + 3y = 5 ( a = 1 , b = 3 , c = 0 , d = 5)
Die Tatsache , dass c = 0 gilt , bedeutet:
E ist zur z-Achse parallel. [senkrecht zur (x,y)-Ebene]
Der Schnittpunkt S existiert und hat die Koordinaten
xS = d / a = 5 / 1 = 5 , yS = zS = 0..
Damit wäre Deine Frage beantwortet
Es fehlt nur noch die Herleitung der Ebenengleichung.
Ich gebe eine Herleitung ,welche recht einfach funktioniert:
Da die Koeffizienten a, b, c , d nur bis auf Proportionalität
bestimmt sind, darf normiert werden :
wir setzen zum vorneherein d =1 an ;das darf man machen,
wenn man annimmt, dass die Ebene nicht durch den Nullpunkt
geht, was hier zutrifft, somit
E: ax + by +cz = 1
Da die Punkte A, B , C auf E liegen., erfüllen deren Koordinaten
der Reihe nach die Gleichungen:
2 * a + 1 * b + 7 * c = 1
8 * a - 1 * b + 3 * c = 1
5 * a + 0 * b + 2 * c = 1
Die Lösung dieses Gleichungssystems sind:
a = 1 / 5 , b = 3 / 5 , c = 0
Wenn man diese Werte einsetzt und die Brüche wegschafft,
erhält man die genannte Gleichung von E.
Ende
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
isabella (Sumsum)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 23:13: |
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Hi ihr beiden!
Bin dank euch auf die richtige Lösung S (5/0/0) gekommen!Thx for your help!
is@ |
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