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philipp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 16:37: | 
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Kann mir jemand sagen, wie ich die Stammfunktion dieser Funktion berechnen kann?
Wäre für jede Antwort sehr dankbar!!! |
Pepe
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 21:15: |
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Die Stammfunktion lautet:
x^2/4-(1/2)*x^2ln(x)+(1/2)x^2(ln x)^2 |
H.R.Mose,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 22:53: |
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Hi Philipp,
Nach diesem Hin und Her machen wir jetzt
kurzen Prozess mit Deinem Integral
Das Resultat ist dieses:
J = int [x * (lnx) ^ 2 * dx ] =
1 / 2 * x ^ 2 * ( lnx ) ^ 2 - 1 / 2 * x ^ 2 * ln x + 1 / 4 * x ^ 2 + C
Herleitung durch zweimalige partielle Integration.
Zuerst wird der Faktor x integriert zu x^2 /2,
dann kommt ins neue Integral rechts als
zweiter Faktor neben x^2 /2 die Ableitung von (lnx) ^ 2 ;
diese lautet: 2 * (ln x) * 1 / x wegen der Kettenregel.
Also: erster Schritt:
J = x ^ 2 / 2 * ( ln x ) ^ 2 - int [ x ^ 2 / 2 * 2 * lnx * 1 / x * dx]
Der Integrand im letzten Integral wird sofort vereinfacht
Im zweiten Schritt wird der verbleibende Faktor x integriert
und neben ln x gestellt usw.
(diese zweite partielle Integration spielt sich in der geschweiften
Klammer ab).
Es ergibt sich:
J = x ^ 2 / 2 * ( ln x ) ^ 2 -
{ ½* x ^ 2 * lnx - int [1/2 x ^ 2 * 1 / x * dx ] } :::::::::
Durch Vereinfachung entsteht das eingangs angegebene
Schlussresultat.
Mit besten Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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