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Beitrag |
    
Klarin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 14:17: | 
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Hallo,
also mein Problem ist folgendes in der letzten Stunde gab uns unser Lk-Lehrer folgende Funktion
f(x)=x*e hoch (-(1/2)*k*x) + k*e hoch (-(1/2)*k*x)
(e=eulerische Zahl; k=irgendeine Zahl)
diese Funktion habe ich leider völlig falsch verstanden und mich dabei auch noch vollkommen verrannt. Deswegen möchte ich euch einige Fragen zu dieser Funktion stellen:
1. Woran kann man erkennen, dass die Nullstelle
bei -k liegen soll?
2. Wie kommt man auf die 1. Ableitung und wie
sieht sie aus?
3. Wie berechnet man die Extremstelle? Sie soll
bei (2/k)-k liegen, wenn ich sie berechne
bekomme ich immer -(k hoch 2)/k heraus.
4. Wie sieht die 2. Ableitung aus und wo liegt
die Wendestelle?
Ich hoffe ihr könnt meine Fragen beantworten. |
Highco (Highco)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 15:09: |
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es gilt f(x)=e-1/2 * kx*[x+k]
zu 1:
Nach dem Nullproduktsatz hat f(x) dann nullstellen, wenn [x+k]=0 oder e-1/2 * kx =0 ist. Daher ermittelt sich also die Nullstelle bei xN=-k
zu 2:
mit hilfe der Produktregel:
f'(x)=-1/2ke-1/2 kx (x+k) + e-1/2*kx=e-1/2 * kx*((2-k2-kx)/2)
zu 3:
nullstellen der ableitung.. wieder NPsatz:
((2-k2-kx)/2)=0 =>2-k*k=kx => x=2/k -k
zu 4:
wieder mit produktregel:
f''(x)=e-1/2 * x * k*((k3+xk2-4k-2)/4)
Der Nullproduktsatz liefert k3+xk2-4k-2=0
folglich x=4/k-k+2/k2 als (mögliche Wendestellen)
... |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 15:27: |
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Hi Klarin
1. Du kannst e-kx/2 ausklammern, dann ist f(x)=(x+k)e-kx/2. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mind. einer der Faktoren 0 ist. Die Exponentialfuktion kann nicht 0 werden, daher muss x+k=0 <=> x=-k.
(2.+3.) Zum Berechnen betrachte ich meine Umformung, die Ableitung berechnet sich nacxh der Produkt regel ((fg)'=f'g+fg')
f'(x)=(x+k)'e-kx/2+(x+k)(e-kx/2)'
Die Ableitung von x+k ist 1, da k konstant ist, die Ableitung des Exponetialterms berechnen wir mit der Kettenregel.
f'(x)=e-kx/2+(x+k)e-kx/2*(-k/2)=
letzt wieder Ausklammern:
=(1+(x+k)*(-k/2))e-kx/2=(1-kx/2-k²/2)e-kx/2
Wiederum kann die e-Funktion nicht 0 sein, daher
1-kx/2-k²/2=0 <=> kx/2=1-k²/2 <=> x=2/k-k (Der letzte Rechenschritt ist Division durch k/2, also Multiplikation mit 2/k, im letzten Summanden kuerzt sich das k weg)
4.
Wieder nach der Produktregel:
f'(x)=(1-kx/2-k²/2)e-kx/2 =>
f''(x)=-k/2*e-kx/2+(1-kx/2-k²/2)e-kx/2*(-k/2) = (-k/2+(1-kx/2-k²/2)*(-k/2))e-kx/2 = (-k/2-k/2+k²x/4+k³/4)e-kx/2
Die Nullstellen sind wiederum die des ersten Faktors:
-k/2-k/2+k²x/4+k³/4=0 <=> -k+k²x/4+k³/4=0 <=> k²x/4=k-k³/4 <=> x=4/k-k
viele Gruesse
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 15:38: |
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Hi Klarin, Hi Highco
Ich hab meine Rechnung mit Maple nachgeprueft, Highco, Du hast Dich bei der zweiten Ableitung verrechnet.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Highco (Highco)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 15:49: |
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Danke - hab nocheinmal nachgerechnet -bekomme aber nun als Wdst. x=-4/k-k
Hattu Vorzeichenfehler??
Mein TI-92 sagt auch das gleiche...
Highco |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 19:23: |
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Hi Highco
Glaub nicht, dass ich nen Vorzeichenfehler habe, habs mehrmals ueberprueft. Meine Rechnung steht ja im Board. Wenn da ein Fehler ist, mueste er zu finden sein.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Highco (Highco)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 20:10: |
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*kleinbeigeb* :o)
bye Highco |
hofmaenner.caflisch
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 20:14: |
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1.
Nullstellenberechnung durch f(x) = 0
In dieser Funktion kann e hoch (-(1/2)*k*x) ausgeklammert werden.
f(x) = e hoch (-(1/2)*k*x) * ( x + k)
e hoch (-(1/2)*k*x) kann nie = 0 sein (reine Exponentialfunktionen haben
keine Nullstelle)
deshalb darf durch diesen Ausdruck dividiert werden und es bleibt x + k = 0
Also ist die einzige Nullstell x = -k
2. Die erste Ableitung kann aus der selben Umformung, Ausklammern von e hoch
(-(1/2)*k*x) , mit der Produkteregel berechnet werden.
f(x) = e hoch (-(1/2)*k*x) *(x + k)
f'(x) =-(1/2)*k* e hoch (-(1/2)*k*x) *(x+k) + e hoch (-(1/2)*k*x)
innere Ableitung des Exponenten * äussere Ableitung von e hoch ...
* (x + k)nicht abgeleitet + e hoch ... nicht abgeleitet * 1 (dabei ist 1 die
Ableitung von (x + k))
Vereinfachen durch das Ausklammern von e hoch (-(1/2)*k*x)
f'(x) = e hoch (-(1/2)*k*x) (-(k*x)/2 - k quadrat /2 + 1)
3.
Das Extremum wird wieder berechnet durch f'(x) = 0
e hoch (-(1/2)*k*x) hat wiederum keine Nullstelle
also bleibt -(k*x)/2 - k quadrat / 2 + 1 = 0
also x = 2/k - k
4.
Die zweite Ableitung wieder mit Produkteregel und Kettenregel
f''(x) = -(k/2)* e hoch (-(1/2)*k*x) *(1 - kx/2 - k quadrat / 2) + -(k/2)* e
hoch (-(1/2)*k*x)
Ausklammern
f''(x) = -(k/x) *e hoch (-(1/2)*k*x) * (2 - kx/2 - k quadrat / 2)
Der Wendepunkt liegt dabei wieder bei f''(x) = 0
also 2 - kx/2 - k quadrat /2 = 0
x = 4/k - k |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 21:45: |
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Oha
Gleich 3 Loesungen
Na Klarin, ist das ein Service hier?
viele Gruesse
SpockGeiger |
Klarin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 14:22: |
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Danke Leute,
ja das ist hier wirklich ein Service
ihr habt mir wirklich geholfen
danke, ich glaub jetzt hab ichs auch verstanden
auf alle Fälle geh ich meine Rechnungen jetzt noch mal Schritt für Schritt durch und such meine Fehler, sollte ich noch mal Probleme haben meld ich mich wieder
bis denn Klarin |
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