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Ulf
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 12:52: | 
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Hi,
Hier meine aufgabe.
Ein Pavillion, der als gläserne Pyramide mit quadratischer Grundfläche gebaut ist, hat in der
Grundfläche die Eckpunkte
A(4/2/0)
B(10/-6/0)
D(12/8/0).
Die Maßeinheit ist ein meter.
Die Spitze der Pyramide befindet sich in der Höhe
h=10 m senkrecht über der Mitte der Grundfläche.
1) Zeige, daß das Dreieck ABD gleichschenklig und
rechtwinklig ist.
2) Berechne die Koordinaten der 4. Ecke C der Pyramidengrundfläche und der Spitze S der Pyramide.
3) Die Punkte A, B und S liegen in der Ebene E1,
die Punkte A, D und S in der Ebene E2.
Gebe jeweils die Parameter- und Normalenform der Ebenen E1 und E2 an.
4) Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen. |
Brunstl
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 17:09: |
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Hallo Ulf,
zu 1) Vektor AB=(6;-8;0), Vektor AD=(8;6;0); Skalarprodukt Vektor AB*Vektor AD=0 -> Winkel bei A=90°, d.h. das Dreieck ABD ist rechtwinklig mit dem Scheitel des rechten Winkels in A; Betrag des Vektors AB=Betrag des Vektors AD=10[m] -> Dreieck ABD gleichschenklig; Sollte das Skalarprodukt zweier Vektoren noch nicht bekannt sein, ist auch folgendes moeglich: Es gilt (Vektor AB)^2+(Vektor AD)^2=(Vektor BD)^2. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras folgt, dass das Dreieck ABD rechtwinklig ist.
zu 2) Es muss gelten Vektor AD=Vektor BC -> C=(18;0;0); S(11;1;10) - Der Punkt S projiziert
auf die xy-Ebene ist der Mittelpunkt der Strecke BD. Mit dieser Kenntnis lassen sich die x- und
y-Koordinaten von S ermitteln.
zu 3) Gleichung der Ebene E1 in Parameterform: Vektor x=(4;2;0)+alpha(3;-4;0)+beta(7;-1;10) mit
reellen Zahlen alpha und beta;
Gleichung der Ebene E1 in Normalform: -8x-6x+5z+44=0; Normalenvektor ueber Vektorprodukt
der beiden Richtungsvektoren in der Parametergleichung: (3;-4;0)X(7;-1;10)=5(-8;-6;5) -> -8x-6y+5z+d=0, durch Einsetzen der Koordinaten von z.B. A ermittelst du d=44 - natuerlich kannst du auch ueber ein Lineares Gleichungssystem diese Ebenengleichung ermitteln; analog erhaelt man die Ergebnisse fuer E2: 6x-8y-5z-8=0 bzw. Vektor x=(4;2;0)+alpha(8;6;0)+beta(7;-1;10) mit reellen Zahlen alpha und beta
zu 4) Die Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 ist eine Gerade durch die Punkte A und S,
da diese beiden Punkte ja beiden Ebenen gemein sind -> Geradengleichung: Vektor x=(4;2;0)+alpha(7;-1;10)
Ich hoffe, dass dir diese Loesung beim Bewaeltigen der Aufgabe hilft.
Mit freundlichen Gruessen
C.Klinowski |
Ulf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 07:57: |
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Hallo C. Kl.
Kannst du die einzelnen Lösungen näher erläutern, so daß ich das in Zukunft selbst machen kann.
Z.B. zu 1) weiß ich nicht wie du auf den Vektor AB
kommst.
Was ich mir hingemalt habe, ist die Quadratische
Pyramide mit der Grundfläche A bis D gegen den Uhr
zeigersinn und oben an der Spitze den Punkt E.
Danke. |
Brunstl
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 17:32: |
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Hallo Ulf;
ich hoffe, dass dir folgende Erlaeuterungen helfen.
zu 1) Zunaechst empfehle ich dir in ein xy-Koordinatensystem die Punkte A, B und D sowie den Ursprung O des Koordinatensystems einzutragen. Der Vektor AB (zweiter Buchstabe B -> Pfeilspitze bei B) ergibt sich als Differenz der Vektoren OB und OA, also: Vektor AB=Vektor OB-Vektor OA. Gehst du wieder in dein gezeichnetes Koordinatensystem hinein, so ist der Vektor OB ein Pfeil von O nach B (Pfeilspitze bei B) und der Vektor OA ist ein Pfeil von O nach A. Die Vektoren OB und OA sind also Ortsvektoren zu B bzw. A.
Vektor OB=(b_x; b_y; b_z)=(10;-6; 0) und
Vektor OA=(a_x; a_y; a_z)=(4;2;0),
Vektor AB=Vektor OB-Vektor OA=(b_x-a_x; b_y-a_y; b_z-a_z)=(10-4; -6-2; 0-0)=(6; -8;0).
Zum Vektor AD:
Vektor AD=Vektor OD-Vektor OA=(d_x-a_x; d_y-a_y; d_z-a_z)=(12-4;8-2;0-0)=(8; 6; 0).
Folgendes ist nachweisen: Dreieck ABD gleichschenklig rechtwinklig, d.h. mindestens zwei Dreiecksseiten sind gleich lang und genau ein Innenwinkel ist 90° gross. Die Lange der
Dreiecksseiten ist also zu bestimmen. Laenge der Dreiecksseite AB=(Laenge des Pfeils von A nach B)=Betrag des Vektors AB=Ouadratwurzel aus [(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2].
Vielleicht merkst du dir das allgemein so: Betrag eines Vektors=Laenge eines Vektorpfeils=Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten des Vektors. Die x-Koordinate des Vektors AB=b_x-a_x, y-Koordinate des Vektors AB=b_y-a_y, z-Koordinate des Vektors AB=b_z-a_z. Nun steht folgendes da: Betrag des Vektors AB=Quadratwurzel aus [6^2+(-8)^2+0^2]=Quadratwurzel aus [100]=10.
Analog berechnest du die Laenge der Dreiecksseite AD: Laenge der Dreiecksseite AD=(Laenge des Pfeils von A nach D)=Betrag des Vektors AD=Ouadratwurzel aus
[(d_x-a_x)^2+(d_y-a_y)^2+(d_z-a_z)^2]=Quadratwurzel aus [(8^2+6^2+0^2]=10
Da Laenge der Dreiecksseite AB=Laenge der Dreiecksseite AD, ist Dreieck ABD gleichschenklig.
Jetzt noch die Laenge der Dreiecksseite BD: BD=(Laenge des Pfeils von B nach D)=Betrag des
Vektors BD=Ouadratwurzel aus [(d_x-b_x)^2+(d_y-b_y)^2+(d_z-b_z)^2]=
(Laenge der Dreiecksseite AB)^2 + (Laenge der Dreiecksseite AD)^2= 10^2 + 10^2=200 und
(Laenge der Dreieckseite BD)^2= 200. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras folgt, dass das Dreieck ABD rechtwinklig ist. 1) geschafft.
zu 2) Die Grundflaeche der Pyramide ist ein Quadrat ABCD. Folglich muessen im Viereck ABCD die gegenueberliegenden Seiten gleich lang und parallel sein. Natuerlich gilt das auch fuer ein Parallelogramm, aber da ja jedes Parallelogramm ein Quadrat ist, muss das auch hier gelten. Gegenueberliegende Seiten sind AD und BC. Es muss gelten: Vektor AD=Vektor BC, d.h.(8;6;0)=(c_x-b_x;c_y-b_y;c_z-b_z)=(c_x-10; c_y-(-6);c_z-0), d.h. 8=c_x-10; 6=c_y+6; 0=c_z-0 -> c_x=18; c_y=0; c_z=0 -> C=(18;0;0). Der Punkt S projiziert auf die xy-Ebene ist der Mittelpunkt der Strecke BD. Mit dieser Kenntnis lassen sich die x- und y-Koordinaten von S ermitteln: Mittelpunkt der Strecke BD=((b_x+d_x)/2;(b_y+d_y)/2;(b_z+d_z)/2)=((10+12)/2;(-6+8)/2;0)=(11;1;0). Nun liegt die Spitze S 10m ueber der Grundflaeche. Folglich ist die z-Koordinate von S 10; also: S(11;1;10).
zu 3) Gleichung der Ebene E1 in Parameterform: E1 ist durch 3 Punkte A, B und S (die nicht auf einer Geraden liegen) bestimmt.
Dreipunktegleichung: Vektor x=Vektor OA+alpha(Vektor OB-Vektor OA)+beta(Vektor OS-Vektor OA) bzw. Punktrichtungsgleichung Vektor x=Vektor OA+alpha Vektor AB+beta Vektor AS -> Vektor x=(4;2;0)+alpha(3;-4;0)+beta(7;-1;10) mit reellen Zahlen alpha und beta
Gleichung der Ebene E1 in Normalform: -8x-6x+5z+44=0;
allgemeine Form: ax+by+cz+d=0 (a^2+b^2+c^2>0), die Punkte A, B und S muessen diese Gleichung erfuellen, also muessen deren x,y und z-Koordinaten dieser Gleichung genuegen.
Fuer A: a*4+b*2+c*0+d=0 <-> 4a+2b+d=0;
Fuer B: a*10-b*6+c*0+d=0 <-> 10a-6b+d=0;
Fuer S: a*11+b*1+c*10+d=0 <-> 11a+b+10c+d=0
Du musst folgendes lineares Gleichungssystem loesen:
I) 10c + b + 11a + d=0 (fuer S)
II) 2b + 4a + d=0 (fuer A)
III) -6b + 10a + d=0 (fuer B)
2*II)+III) liefert neue dritte Gleichung: 22a+4d=0 bzw. 11a+2d=0. Nur eine Loesung des LGS benoetigst du. Zum Beispiel kannst du d=11 waehlen. Dann ergibt sich a=-2. Mit diesen beiden Werten gehst du in Gleichung II hinein und ermittelst b=-1,5. Nun mit a=-2, b=-1,5 und d=11 in Gleichung I ergibt fuer c=12,5/10=1,25.
Ergenis: Ebenengleichung -2x-1,5y+1,25z+11=0. Multiplizierst du diese Gleichung mit 4 bekommst
du: -8x-6y+5z+44=0.
Analog erhaelt man die Ergebnisse fuer E2: 6x-8y-5z-8=0 bzw. Vektor x=(4;2;0)+alpha(8;6;0)+beta(7;-1;10) mit reellen Zahlen alpha und beta.
zu 4) Die Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 ist eine Gerade durch die Punkte A und S, da diese beiden Punkte ja beiden Ebenen gemein sind -> Geradengleichung: Vektor x=Vektor OA+alpha Vektor AS=(4;2;0)+alpha(7;-1;10).
Du kannst natuerlich die Vektoren auch anders bezeichnen. Ich bevorzuge folgende Bezeichnung fuer den Ortsvektor des Punktes A: Vektor a. Dadurch werden dann die Gleichungen etwas uebersichtlicher. Alle von mir verwendeten Formeln findest du auch in einer guten Formelsammlung (von PAETEC oder VOLK UND WISSEN). Diese Tafelwerke sind wirlich sehr uebersichtlich und umfangreich mit vielen Abbildungen.
Mit freundlichen Gruessen
Claudia |
Ulf
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 07:54: |
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Zu 2) Warum sind die Vektoren AD und BC gleich.
Sie sind doch um die Länge AB verschoben? |
Ulf
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 09:12: |
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Hallo Claudia
Zu 3)
Ich gehe davon aus, daß sowohl die Punktrichtungsgleichung als auch die Dreipunktgleichung zum Ziel führt.
Den Vektor 0A kann man ja ablesen .
Wie komme ich auf (3/-4/0) und (7/-1/10).
Muß ich im Ergebnis immer dazu schreiben:
mit reelen Zahlen alpha und beta?
Kannst du etwas nähers sagen zu der normalform
Reicht da nicht eine Form schon aus.
In welchem Zusammenhang steht a quadrat + b quadrat + c quadrat > 0
Danke. |
Brunstl
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Oktober, 2000 - 20:23: |
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Hallo Ulf,
zu 2) Um deine Frage zu beantworten, muss ich etwas weiter ausholen. Zu Beginn ein einfaches Beispiel aus der Physik: Wenn sich geladene Teilchen im homogenen elektrischen Feld eines Plattenkondensators befinden, so werden in bestimmten Zeitraeumen Teilchen gleicher Masse und gleicher Ladung in dieselbe RICHTUNG und um denselben BETRAG verschoben. Diese Verschiebung kann durch PARALLELE PFEILE mit GLEICHER LAENGE und GLEICHEM RICHTUNGSSINN dargestellt werden. Betrachtet man nun alle Pfeile der Ebene bzw. des Raumes, so kann man jeweils parallele Pfeile mit gleicher Laenge und gleichem Richtungssinn zu einer PFEILKLASSE zusammenfassen, d.h. jede Verschiebung legt genau eine Pfeilklasse fest und umgekehrt. Und eine solche Pfeilklasse bezeichnet man als einen Vektor der Ebene bzw. des Raumes. --> Merke dir folgende Definition: Unter einem VEKTOR versteht man eine Klasse paralleler Pfeile mit gleicher Laenge und gleichem Richtungssinn. Einen Vektor kannst du nicht zeichnen, sondern nur einen Vertreter (Repraesentanten) des Vektors, da ja zu einem Vektor unendlich viele (parallele, gleich lange und gleich gerichtete) Pfeile gehoeren. Jeder dieser Pfeile ist ein Vertreter seiner Pfeilklasse. Die Menge aller Pfeile einer Pfeilklasse ist bereits durch einen einzigen ihrer Pfeile festgelegt, naemlich durch seine Richtung, seinen Richtungssinn und seine Laenge. Zurueck zu deiner Frage bzgl. der Aufgabe: Die Pfeile AD und BC sind gleich lang, parallel und gleich gerichtet; sie sind folglich Repraesentanten ein und derselben Pfeilklasse, sie gehoeren zu demselben Vektor. Daher ist zu schreiben: Pfeil AD=Pfeil BC. Man verwendet aber haeufig, wenn keine Verwechslungen moeglich sind, die Begriffe Vektor und Repraesentant eines Vektors synonym, d.h. wenn z.B. in einer Aufgabe ein Vektor gezeichnet werden soll, so ist ein Repraesentant dieses Vektors gemeint. Demzufolge Vektor AD=Vektor BC.
zu 3) Du hast voellig richtig erkannt, dass man den Vektor OA direkt ablesen kann. Auf den Vektor (3/-4/0) in der Punktrichtungsgleichung kommt man so: Die Formel fuer die Punktrichtungsgleichung der gesuchten Ebene lautet
Vektor x=Vektor OA+alpha Vektor AB+beta Vektor AS. Du kannst dir das so vorstellen: Schraffiere doch einmal in deinem Koordinatensystem die Ebene, deren Gleichung gesucht ist. Zunaechst brauchst du einen "Einsprungvektor", z.B. Vektor OA; jetzt befindest du dich erstmal in der gesuchten Ebene, naemlich im Punkt A. Punkt B gehoert aber auch zur Ebene, aber wie kommst du dahin. Ganz einfach, du gehst schnurstracks von A nach B; also ist dein erster Richtungsvektor (Spannvektor) in der Punktrichtungsgleichung der Vektor AB. S ist auch ein Punkt in der Ebene; gehst du von dem Einsprungpunkt A in Richtung S, so erreichst du auch S. Also ist dein zweiter Richtungsvektor in der Punktrichtungsgleichung Vektor AS. Vektor AB=Vektor OB-Vektor OA=(b_x-a_x/b_y-a_y/b_z-a_z)
=(10-4/-6-2/0-0)=(6/-8/0).
Vektor AS=Vektor OS-Vektor OA
=(s_x-a_x/s_y-a_y/s_z-a_z)
=(11-4/1-2/10-0)=(7/-1/10).
Jetzt haben wir folgendes Ergebnis - Gleichung der Ebene E1 in Punktrichtungsform:
x=(4;2;0)+Alpha(6;-8;0)+Beta(7;-1;10) mit reellen Zahlen Alpha und Beta. Fuer z.B. Alpha=0 und Beta=1 ergibt sich Vektor x=(11/1/10), also der Vektor OS (Punkt S der Ebene). Ist dagegen Alpha=1 und Beta=0, so ergibt sich Vektor x=(10/-6/0), also der Vektor OB (Punkt B der Ebene).
Nun wirst du dich wundern, dass ich dir aber eine andere Gleichung genannt hatte, naemlich Vektor
x=(4;2;0)+alpha(3;-4;0)+beta(7;-1;10) mit reellen Zahlen alpha und beta. Beide Gleichungen beschreiben die gleiche Ebene, nur habe ich aus (6/-8/0) 2 ausgeklammert, also (6/-8/0)=2*(3/-4/0). Zum Beispiel bekommst du aus der zweiten Ebenengleichung fuer alpha=2 und beta=0 auch den Vektor x=(10/-6/0) (Punkt B). Da ja die Parameter alpha und beta unabhaengig voneinander die Menge der reellen Zahlen durchlaufen, kann ich den Faktor 2 weglassen. Deshalb schreibe ich auch die Parameter unterschiedlich: Alpha, Beta bei der ersten Gleichung, alpha und beta bei der zweiten Gleichung. Beide Gleichungen sind korrekt, nur eine musst du angeben. Vielleicht sind dir andere Bezeichnungen fuer die Parameter als griechische Buchstaben angenehmer, dann verwende diese.
Notierst du am Ende deines Loesungsweges das Ergebnis, so wuerde ich stets (mit Symbolen) angeben: a, b Element der Menge der reellen Zahlen, falls durch die Aufgabe keine andere Einschraenkung fuer die Parameter genannt ist. Sollte das der Fall sein, so gibst du diese an.
Ich moechte dich noch auf etwas hinweisen beim Aufstellen der Parametergleichung der Ebene in Punktrichtungsform: die beiden Richtungsvektoren (Spannvektoren) muessen linear unabhaengig sein, d.h. diese Vektoren duerfen keine Vielfache voneinander sein. Das musst du ggf. noch vorher ueberpruefen.
Zur Normalform: Die verwendeten Begriffe in den Ma-Lehrbuechern sind nicht einheitlich. Ich habe beim Beantworten deiner Frage unter Normalform: ax+by+cz+d=0 verstanden, wobei die Koeffizienten a, b und c nicht gleichzeitig 0 sein duerfen. Das gilt aber genau dann, wenn a^2+b^2+c^2>0 (negativ kann die Summe von Quadraten ja nicht werden, und 0 nach Forderung auch nicht). Man bezeichnet ax+by+cz+d=0 auch als Koordinatengleichung einer Ebene oder allgemeine Form einer Ebenengleichung. Da du deine Aufgabe in der Rubrik Abitur angesiedelt hast, empfehle ich dir mal in einem Schulbuch fuer dein Bundesland oder in frueheren Abiturpruefungen mit Musterloesungen nachzuschlagen, was denn mit Normalform gemeint ist oder frage doch mal deinen Ma-Lehrer. Wenn du dann die Anforderungen genau kennst, wuerde ich mich daran halten.
Der Vollstaendigkeit halber gebe ich dir eine Uebersicht der vier verschiedenen Gleichungsformen, die Ebenen beschreiben koennen:
Koordinatenform: ax+by+cz+d=0; z.B. -8x-6x+5z+44=0
Parameterform: Vektor x=Vektor p0+alpha Vektor a+ beta Vektor b (Vektor p0: Stuetzvektor (Einsprungvektor); Vektoren a und b: Richtungsvektoren, linear unabhaengig; alpha, beta durchlaufen unabhaengig voneinander die Menge der reellen Zahlen);
z.B. Vektor x=(4;2;0)+alpha(3;-4;0)+beta(7;-1;10).
Normalenform: Die Lage einer Ebene im Raum ist durch einen Punkt A dieser Ebene und einen Vektor n, der senkrecht zur Ebene verlaeuft (ein so genannter NORMALENVEKTOR der Ebene), eindeutig bestimmt. Ein Punkt P liegt also genau dann in der Ebene, wenn der Vektor AP zum Vektor n orthogonal ist bzw. wenn deren Skalarprodukt 0 ist.
-> Gleichung in Normalenform:
Vektor n*Vektor AP=0;
z.B. (-8/-6/5*(x-4/y-2/z)=0.
Beachte, dass die Koeffizienten in der Koordinatenform gerade die Koordinaten des Normalenvektors sind. Am besten gehst du nochmal die Beispiele durch, um das prinzipielle Vorgehen beim Aufstellen dieser Gleichungen zu erkennen.
Hesse'sche Normalform: Normalengleichung der Ebene, wobei der Normalenvektor normiert ist, also den Betrag 1 hat.
Du solltest unbedingt Ruecksprache mit deinem Mathelehrer nehmen, damit du genau die Anforderungen kennst.
Solltest du noch weitere Fragen haben, so schreibe mir. Vielleicht teilst du mir auch den Titel des verwendeten Lehrbuches mit.
Mit freundlichen Gruessen
Claudia K. |
Ulf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Oktober, 2000 - 13:24: |
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Hallo Claudia,
Der Mittelpunkt BD ist durch Addition und dividiert durch 2 ermittelt worden.
Bei den Koordinaten ist doch immer subtrahiert worden.
Es ist doch nicht die Länge des Mittelpunktes
ermittelt worden.
Kannst du das mir verständlich machen.
Ciao.
P.S.:
Auf letzteren Text bekommst du noch Antwort. |
Brunstl
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Oktober, 2000 - 20:05: |
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Hallo Ulf,
zu deiner Frage:
Zeichne einmal die Punkte B(10/-6) und D(12/8) in ein Koordinatensystem, die Ortsvektoren b, d der Punkte B, D und den Vektor BD. Markiere den Mittelpunkt M der Stecke BD. Zuerst bewegt du dich vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt B. Um von B zu M zu gelangen, marschierst du auf dem Vektor BD die Haelfte seiner Laenge entlang. Jetzt bist du am Ziel. Nun uebersetzen wir das:
Vektor OB + 1/2 * Vektor BD=Vektor OM,
Mit Vektor BD=Vektor OD-Vektor OB ergibt sich:
Vektor OB + 1/2 * (Vektor OD-Vektor OB)=Vektor OM. Verwenden wir die oben eingefuehrten Bezeichnungen der Ortsvektoren, so gilt:
Vektor b + 1/2 * (Vektor d-Vektor b)=Vektor m.
Klammer aufloesen und zusammenfassen:
1/2 Vektor b + 1/2 Vektor d
=1/2 * (Vektor b+Vektor d)
=Vektor m.
Eine zweite Variante, wie man auf die Formel fuer den Mittelpunkt einer Strecke kommt, folgt nun:
Die Vektoren b und d sind durch die Koordinaten bezueglich des Koordinatensystems gegeben; die Summe Vektor b+Vektor d findet man, indem man die entsprechenden Koordinaten der Vektoren addiert: Vektor b+Vektor d =(b_x+d_x/b_y+d_y)
=(10+12/-6+8)=(22/2).
Den Summenvektor bezeichne ich mit Vektor c. Nun zeichne den Vektor c (d.h. den Vektor OC) ebenfalls in das Koordinatensystem ein. Wir haben rechnerisch die Summe der beiden Vektoren b und d ermittelt; man kann den Summenvektor der Vektoren b und d aber auch konstruktiv ermitteln:
Dieser SUMMENVEKTOR laesst sich geometrisch darstellen als DIAGONALVEKTOR des von den Vektoren b und d aufgespannten PARALLELOGRAMMS. Das gleiche Prinzip hast du sicher auch in der Physik schon einmal genutzt: Zwei Kraefte, die an einem Punkt angreifen, werden durch eine einzige Kraft ersetzt, die man Gesamtkraft oder resultierende Kraft der Teilkraefte nennt.
Zeichnerisch kann man die resultierende Kraft mit Hilfe eines Kraefteparallelogramms ermitteln. Zeichne bitte in dein Koordinatensystem das Parallelogramm OBCD (durch Parallelverschiebung). Die Vektoren OC und BD sind die Diagonalvektoren im Vektorparallelogramm OBCD. Nun halbieren die Diagonalen in jedem Parallelogramm aber einander. Folglich ist der Ortsvektor OM (M... Mittelpunkt von BD)
([b_x+d_x]/2; [b_y+d_y]/2)=(11;1).
Im Raum kommt noch die z-Koordinate hinzu.
Mit freundlichen Gruessen
Claudia |
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