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Beitrag |
    
MADCRAWLER
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 12:13: | 
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Vielleicht kann mir ja jemand helfen:
Es sei a>0. Von allen quadratischen Funktionen f mit f(x)=c-ax^2, deren Grapen durch (1;1) gehen, soll diejenige bestimmt werden, deren Graph mit der x-Achse die kleinste Fläche einschließt. Wie groß ist der Inhalt dieser Fläche?
Ich habe zwar die Lösung: y=1,5-0,5x^2
aber der Lösungsweg ist mir nicht einleuchtend!
Als Antwort bitte ich um eine detailierte leicht zu verstehende Schritt für Schritt Lösung!
Danke |
dakir
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 09:13: |
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Hallo Madcrawler,
als erstes bestimmen wir einmal die Funktionen der Gestalt f(x) = c - ax², die durch (1, 1) gehen:
f(1) = 1
c - a = 1
c = a + 1
Um die Fläche berechnen zu können, die von dem Graphen der Funktion f mit der x-Achse eingeschlossen wird, müssen wir die beiden Nullpunkte der Funktion berechnen:
f(x) = 0
a + 1 - ax² = 0
x² = (a + 1) / a
x = +/- (a + 1) / a
Der Flächeninhalt wird mittels des Integrals berechnet. Damit ist der Flächeninhalt A(a):
A(a) = Integral[-(a + 1) / a, +(a + 1) / a](a + 1 - ax²)dx = (aufgrund der Symmetrie) = 2 * Int[0, (a + 1) / a](a + 1 - ax²)dx =
(a + 1)x - a/3x³[0, (a + 1) / a] = (a + 1)² / a - (a + 1)³ / 3a²
Um den minimalen Flächeninhalt zu bestimmen, ist notwendig A´(a) = 0:
A´(a) = [2a(a + 1) - (a + 1)²] / a² - [3a(a + 1)² - 2(a + 1)³] / 9a³
A´(a) = 0
2a(a + 1) - (a + 1)² - [3a(a + 1)² - 2(a + 1)³] / 9a = 0
erste Lösung a = -1,
bleibt übrig:
2a - (a + 1) - [3a(a + 1) - 2(a + 1)²] / 9a = 0
9a² - 9a - 3a² - 3a + 2a² + 4a + 2 = 0
9a² - 8a + 2 = 0
4a² - 4a + 1 = 0
a² - a + 1/4 = 0
(a - 1/2)² = 0
a = 1/2
Um sich davon zu überzeugen, daß es sich hierbei wirklich um ein Minimum handelt, kann man entweder die 2. Ableitung ausrechnen (was hier aber sehr mühsam ist) oder ein paar geometrische Überlegungen machen.
Hast Du erstmal noch Fragen bis hierher?
Daniel |
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