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Geschichte der komplexen Zahlen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Komplexe Zahlen » Geschichte der komplexen Zahlen « Zurück Vor »

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Conny (Sinéad)
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Veröffentlicht am Samstag, den 30. September, 2000 - 10:59:   Beitrag drucken

Hilfe! Brauche für meine Facharbeit dringend Infos über die Geschichte der komplexen Zahlen!!
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franz
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Veröffentlicht am Samstag, den 30. September, 2000 - 20:44:   Beitrag drucken

Historisches zu den komplexen Zahlen. Wurzeln aus negativen Zahlen werden seit der Mitte des 17.Jh. verwendet und führen seit jener Zeit den Namen: imaginäre Zahlen. Die Mathematiker des 17.Jh. konnten sich dabei auf die 1572 erschienene Algebra des Bologneser Mathematikers Raffaele BOMBELLI stützen, der bereits eine konsequente Theorie der reinimaginären Zahlen entwickelte. Die Lehre von den komplexen Zahlen wurde später durch Johann BERNOULLI (1667-1748), Leonhard EULER (1707-1783) und vor allem durch Carl Friedrich GAUSS (1777-1855) sehr gefördert. Auf Gauß geht u. a. die Darstellung in der Ebene (Gaußsche Ebene) zurück. Die komplexen Zahlen bilden die Grundlage für die Funktionentheorie. [Kleine Enzyklopädie Mathematik, S.88] F.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 19:53:   Beitrag drucken

Hi Conny,

Als Ergänzung zur Arbeit von Franz möchte ich
auf einen weiteren ganz wesentlichen Beitrag bei der
Etablierung der komplexen Zahlen im Reich der Zahlen
aufmerksam machen .
Im Jahre 1833 leistete der irische Mathematiker und Physiker
Sir William Rowan Hamilton ( 1805 - 1865 ) diesen
Beitrag ,indem er die komplexen Zahlen als geordnete
Paare interpretierte.
z. = a + i b wird als (a , b) geschrieben ; dabei sind a und b
reelle Zahlen.

Die Summe wird definiert:
( a1 , b1 ) + ( a2 , b2 ) = ( a1 + a2 , b1 + b2 )..................... .(S)
Das Produkt:
( a1 , b1 ) * ( a2 , b2 ) = ( a1 a2 - b1 b2 , b1 a2 + a1 b2 )......(P)

Es ist leicht zu zeigen, dass alle Gesetze der Addition und
Multiplikation wie sie für reelle Zahlen gelten, auch für
komplexe Zahlen gültig sind.
Dasselbe gilt für Divisionen ; auszuschliessen ist dabei
das Paar (0,0) .
Die reellen Zahlen r entsprechen den Paaren ( r , 0 ) ,
die rein imaginären den Paaren ( 0 , s )
Insbesondere gilt: ( 0 . 1 ) . ( 0 , 1 ) = ( - 1 , 0 ) , d.h. (i1) ^ 2 = -1 .

Anmerkung

Die obigen Angaben könnten auch Michael dienlich sein
beim Beweis des Assoziativgesetzes der Addition komplexer
Zahlen nämlich
(siehe seine entsprechende Anfrage im Board).
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Fern
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 23:04:   Beitrag drucken

Hallo, noch eine kleine Ergänzung:

Hamilton nannte seine neuen Zahlen Quaternionen.
Der Erfolg zur Verwendung dieser Quaternionen in der Physik blieb zunächst aber aus, bis es James Maxwell gelang, ihre nützliche Anwendung (als Vektoren) für Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu zeigen.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 01:30:   Beitrag drucken

Quaternionen sind eine echte Obermenge der komplexen Zahlen. Die Quaternionen bilden einen so genannten Schiefkörper; das Kommutativgesetz gilt nicht.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 09:56:   Beitrag drucken

Hi,

Bemerkenswertes über Hamilton und seine Bemühungen
um den
Schiefkörper der Quaternionen.

Auf der Brougham-Brücke in Dublin ist eine Gedenktafel
angebracht, welche an William Rowan Hamilton und die
Erschaffung der Quaternionen erinnert.

Dies hat folgende Bewandtnis:
An einem Herbstabend des Jahres 1843 spazierte Hamilton ,
inzwischen (1835) zum Sir Rowan avanciert, mit seiner Frau
(in Begleitung ihres Irish-Setters ? ) am Royal Canal entlang
Hamilton war - wie üblich - in Gedanken versunken
Plötzlich aber - mitten auf der genannten Brücke -
zückte er sein Taschenmesser und ritzte die folgenden Formeln
in einen Pfeiler der Brücke ein:

i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = - 1 ,
i j = k , j k = i , k i = j. ...............................................(H)
j i = - k , k j = - i , i k = - j

Mit dieser Gruppentafel war der Schiefkörper der Quaternionen
(am 16.Oktober 1843) geboren !

Soweit die Anekdote, die viel Wahres enthält.

Zum Abschluss bilden wir das Hamiltonprodukt der
gegebenen "Vektoren" a und b ( Operator : ° ):
Sei a = 6 i + 5 j + 0 k , b = 3 i + j +2 k
Wir erhalten als Produkt a ° b, indem wir munter ausmultiplizieren
und die obigen Regeln (H) beachten:
a ° b = -18 + 6 k - 12 j -15 k - 5 + 10 i =
= - 23 + 10 i - 12 j - 9 k .

Wir stellen mit Erstaunen fest ,dass das Quaternion aus dem
Skalarprodukt und dem Vektorprodukt der gegebenen "Vektoren"
a und b besteht.

Es gäbe auch hier noch vieles beizufügen.
Dennoch Abschluss des Themas !

Mit freundlichen Grüssen

H.R.Moser,megamath.

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