| Autor |
Beitrag |
    
Ben
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 08:42: | 
|
a)Zeige rechnerisch,dass die Punkte A(1/1/1),
B(1/-1/2) und C(2/2/2)Eckpunkte eines Dreiecks sind.
b)Weise nach,dass die Gerade g durch die Punkte P(2/-2/4) und Q(o/2/-1)in der Ebene E durch A,B und C liegt.(Ich komme mit der Auflösung des Gaussalgoritmus nicht klar,da ich die Nullen nicht auflösen kann)
c)Berechne die Schnittpunkte der Geraden g mit den Seiten des Dreiecks. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 09:52: |
|
Hi Ben,
Wir ermitteln die Verbindungsvektoren
u = AB = {0,-2;1}, v = AC = {1;1;1}
Diese Vektoren sind linear unabhängig und spannen
die gesuchte Ebene E auf.
Als Nachweis zeigen wir, dass das Vektorprodukt p = u x v
vom Nullvektor verschieden ist ; wir erhalten:
p = {-3;1;2} :
p ist ein Normalenvektor der Ebene E; seine Koordinaten sind
somit die Koeffizienten von x , y , z in der Ebenengleichung
von E
Diese lautet: - 3 x + y + 2z = 0 (Kontrolle: E geht durch A,B,C)
Nun bestimmen wir eine Parametergleichung der Geraden g = PQ
Richtungsvektor r von g ;: r = PQ = {-2;4-5};
Parametergleichung in skalarer Form: (P als "Anfangspunkt")
x = 2 - 2t , y = -2 + 4t z = 4 - 5t
Diese Werte setzen wir in die Ebenengleichung ein und erleben,
dass die Gleichung identisch erfüllt ist, d.h. für alle reellen Werte
des Parameters t gültig ist.
Konsequenz: Die Gerade g liegt voll in der Ebene E ; Nachweis:
-3*( 2-2t ) + ( -2 + 4t ) + 2 * ( 4-5t ) = 0 für alle t !
Anm.
Du brauchst zu keiner Zeit den Algorithmus von Gauss einzusetzen !
Fortsetzung folgt
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 10:00: |
|
Hallo Ben
a) Wenn A,B,C ein Dreieck bilden, dann dürfen die Vektoren AB und AC nicht kolinear sein.
AB=(0;-2;1)
AC=(1;1;1)
Es gibt keine Zahl k, so dass AB=k*AC. Also AB und AC nicht kolinear.
=============================
b) Ebene E durch A,B,C:
Wir kennen zwei Vektoren in dieser Ebene AB und AC.
Der Normalenvektor von E ist n=AB x AC = (-3;1;2)
Gleichung der Ebene E:
-3(x-1)+1(y-1)+2(z-1)=0
-3x+y+2z=0.......Gleichung für E.
Jetzt müssen wir nur noch zeigen dass die Punkte P und Q in dieser Ebene liegen, dann liegt auch die Gerade g in E.
Punkt P (Koordinaten in E eingesetzt:
-3*2-2+2*4=0 stimmt
Punkt Q:
0+2-2=0 stimmt.
Die Gerade g liegt also in E.
==================================
c) Schnittpunkte
Gleichung der Geraden g:
g: (2;-2;4)+r*(-2;4;-5)
Gleichung der Geraden durch AB:
AB: (1;1;1)+t*(0;-2;1)
Schnittpunkt g mit AB:
2-2r=1
-2+4r=1-2t
4-5r=1+t}
Aus diesen 3 Bestimmungsgleichungen kann man nun leicht r und t ermitteln:
r=1/2 und t=1/2)
In g (oder AB) eingesetzt, ergibt sich der Schnittpunkt
S=(1;0;3/2)
=============
Die Schnittpunkte mit AC und BC genauso rechnen. Man muss aber prüfen ob der Schnittpunkt innerhalb der Strecke AC bzw. BC liegt. (Eine Gerade schneidet im Allgemeinen ein Dreieck in höchstens 2 Seiten!).
=========================================================== |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 10:05: |
|
Sorry, H.R.Moser, ich hatte übersehen, dass du schon eine Antwort gegebn hattest. Es freut mich aber, dass ich zum gleichen Ergebnis gekommen bin.
Gruß, Fern |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 11:59: |
|
Hi Ben ,
Zum krönenden Abschluss lösen wir nun Teilaufgabe c)
Wir ermitteln von den Seitengeraden AB, AC und BC
je eine Parametergleichung und ermitteln die Schnittpunkte
S1, S2 , S3 dieser Geraden mit der Geraden g,
von der wir sehr wohl wissen, dass sie in der Ebene ABC,
d.h in E liegt.
Die Resultate sind : S1( 1; 0 ; 3 / 2 ) , S2 ( 2/3 ; 2/3 ; 2/3 ) ,
S3 ( 6 / 5 ; - 2 / 5 ; 2 )
Herleitung der Ergebnisse
u = {0;-2 ;1} ist ein Richtungsvektor von AB ;
Parametergleichung von AB: x = 1 + 0s , y = 1 - 2s , z = 1 + s
Schnitt mit g ( Gleichsetzung gleichnamiger Koordinaten):
1 = 2 - 2t , 1 - 2s = = - 2 + 4t daraus s = 1 / 2 , t = 1 / 2
Die dritte Gleichung (übereinstimmende z-Werte) ist a priori erfüllt.
Mit diesen Parameterwerten erhalten wir den Schnittpunkt S1.
v = {1;1;1} ist ein Richtungsvektor von AC;
Parametergleichung von AC: x = 1+ s . y = 1 + s , z = 1 + s
Schnitt mit g:
1 + s = 2 - 2 t ; 1 + s = - 2 + 4 t , daraus s = - 1 / 3 , t = 2 / 3
Die dritte Gleichung ist mit diesen Werten ebenfalls erfüllt
Schnittpunkt S2 wie oben angegeben.
w = {1 ;3; 0 } ist ein Richtungsvektor von BC
Parametergleichung von BC : x = 1 + s , y = - 1 + 3 s , z = 2
Schnitt mit g :
1 + s = 2 - 2 t , - 1 + 3 s = - 2 + 4 t , daraus s = 1 / 5 , t = 2 / 5
Die dritte Gleichung ist wiederum erfüllt.
Schnittpunkt S3 wie oben angegeben
Anmerkung
Die laufenden Punkte auf g und auf einer der Geraden, z.B. auf AB,
sind zunächst nicht gekoppelt;
daher sind zwei verschiedene Parameter s und t zu verwenden ;
sie dürfen keinesfalls gleichgesetzt werden.
Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 13:13: |
|
Hallo H.R.Moser,
Meiner Ansicht nach ist der Punkt S2 = (2/3;2/3;2/3) kein Schnittpunkt der Geraden g mit einer Dreiecksseite, weil er außerhalb der Strecke AC liegt.
Gruß. Fern |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 19:30: |
|
Hallo Fern,
Zur Aufgabe, die wir beide fast zeitgleich gelöst hatten
Selbstverständlich liegen nicht alle drei von mir ermittelten
Schnittpunkte von g mit den Dreieckseiten im Innern der
Dreieckseiten .
Ich hatte nicht mehr auf die Formulierung der Aufgabe
geachtet, sondern stur die Schnittpunkte von g mit den
Geraden AB , AC und BC berechnet.
Die Veröffentlichumg Deiner Lösung zu einem Zeitpunkt ,
als meine Lösung im Board bereits erschienen war, hat mich
in keiner Weise gestört.
Im Gegenteil:
Es liegt sicher auch im Interesse der Studierenden,
für ein und dasselbe Problem verschiedene ( hochkarätige !)
Lösungen kennen zu lernen , besonders auch dann, wenn die
Resultate übereinstimmen und keiner von uns sich blamieren muss.
Es kann in der Hitze des Gefechtes wieder einmal passieren,
dass solche Doppellösungen erscheinen, vielleicht auch eimal
in der umgekehrter Reihenfolge.
In diesem Sinn
Beste Grüsse
H.R.Moser. |
|
