| Autor |
Beitrag |
    
Anna (Rinaca)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 20:20: | 
|
An der Stelle Xo= 0 hat die Funktion f(x)=sin(x)
den Differenzenquotienten m =(sin(x)-sin 0)/x-0
= sin(x)/x
Um das Verhalten von m für x gegen 0 zu untersuchen, deuten wir x (x>0) und sin(x)am Einheitskreis.
Ein Flächenvergleich zeigt,dass das Dreieck OPQ kleiner ist als der Kreiausschnitt ORQ und dieser kleiner als das Dreieck ORS, d.h.
(hilfe,da dies ja leider nicht graphisch darstellbar ist:strecke OR ist 1(entlang der x-achse), Strecke RS ist tan(x) = sin(x)/cos(x), Strecke oq ist auch 1,Strecke PQ ist sin(x), der Kreisbogen von Q zu R ist 1, O P und R liegen in dieser reihenfolge auf der x-achse,Die strecken PQ und RS stehen senkrecht auf x,wobei SR weiter rechts steht)
1/2 sin(x)*cos(x) < 1/2 x < 1/2 sin(x) /cos(x)
Frage 1: Wie heißt die allgemeine Formel für den Differenzquotienten?
Frage 2:Wieso ist die Gleichung für den Kreisbogen 1/2 x ?
Ich hoff, ihr findet euch hier irgendwie zurecht und wisst,was ich meine!!!
Danke! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 23:40: |
|
Antwort 1:
Der Differenzenquotient wird meistens definiert als
(f(x+h)-f(x))/h
, wobei das die Ableitung an der Stelle x liefert, wenn h gegen 0 strebt.
Andere Schreibweisen sind:
(f(a+Dx)-f(a))/Dx
, wobei das die Ableitung an der Stelle a liefert, wenn Dx gegen 0 strebt.
Oder auch so:
(f(x)-f(a))/(x-a)
, wobei das die Ableitung an der Stelle a liefert, wenn x gegen a strebt.
Diese unterschiedlichen Schreibweisen beschreiben alle das gleiche. Bei dem von Dir oben zitierten Differenzenquotienten wurde wohl die dritte Schreibweise verwendet.
Antwort 2:
Der Winkel (im Bogenmaß) ist definiert als Bogen/Radius. (je größer der Bogen oder je kleiner der Radius, desto größer der Winkel)
Die Fläche eines Kreisbogens ist proportional zum Winkel. (je größer der Winkel, desto größer die Fläche)
Die größtmögliche Fläche eines Kreisbogens ist die des Vollkreises = pr²
Sie wird beim Vollwinkel 360°=2p erreicht.
Das heißt also: Wenn wir den Winkel auf 0 setzen, erhalten wir auch die Fläche 0.
Wenn wir den Winkel auf den Vollwinkel 360°=2p setzen, erhalten wir die volle Kreisfläche pr², also erhalten wir die Fläche, die zu einem beliebigen Winkel gehört, indem wir so eine Art Dreisatz verwenden:
Fläche(Winkel) = Winkel * Gesamtkreisfläche / Vollwinkel
= Winkel*pr²/(2p)=1/2*Winkel*Radius²
Die Fläche eines Kreissektors ist also
1/2*Winkel*(Radius)².
Im Einheitskreis ist der Radius gleich 1, der Winkel ist gleich x, also ist die eines Kreissektors gleich 1/2*x*(1)²=1/2 x
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
|
