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Eva
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 15:51: | 
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Im R2 sind die Geraden G: x= (2/3)+k(1/-2) und
h:4x+2y+3=O gegeben.
Gebe eine Gleichung der Mittelparallelen von g und h an!
Gebe eine Gleichung der Geraden an, welche von g den ( positiven) Abstand 2LE hat und in derselben Halbebene wie Gerade h liegt!
Bitte so schnell wie möglich! Danke!
Gruss Eva! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 20:47: |
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Hi Eva,
Zuallererst setzen wir die Parametergleichung
x = 2 + k , y = 3 - 2 k von g
in die Koordinatengleichung um, indem wir den
Parameter k eliminieren
Man findet als Gleichung von g sofort: 2x + y = 7
Noch besser ist es, wenn wir durch Multiplikation beider
Seiten mit 2 diese Gleichung derjenigen von h anpassen.
Also g: 4x + 2 y = 14
Denn jetzt erhalten wir sofort eine Gleichung
der Mittelparallelen m, indem wir die linke Seite von
g und h tel quel übernehmen,
auf der rechten Seite von m aber das arithmetische Mittel
der Glieder auf der rechten Seite der Gleichungen von
g und h einsetzen
Das sieht so aus
g: 4x + 2y = 14
h : 4x + 2y = - 3
daraus Gleichung der Mittelparallelen: 4x + 2y = (14 -3) / 2 = 5.5
Spätestens jetzt solltest Du alle drei Geraden in einem rechtwinkligen
(x,y) - Koordinatensystem einzeichnen
Die Steigungen sind alle gleich -2, die Achsenabschnitte auf der
y-Achse der Reihe nach 7 ; - 1.5 ; 2.75.
Fortsetzung folgt
Gruss: H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 21:39: |
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Hi Eva ,
Wir lösen jetzt noch die Zusatzaufgabe,
kommen aber nochmals auf die Ermittlung
der Mittelparallelen zurück
Man merkt es an allen Ecken und Enden:
die Aufgabe ist als Uebungsaufgabe zum Thema
"Hessesche Abstandsformel" konzipiert.
Daher schreiben wir beide Geradengleichungen je in
ihren Normalformen:
g: ( 4x + 2 y - 14 ) / wurzel ( 4 ^ 2 + 2 ^2 ) = 0
h: ( 4x + 2 y + 3 ) / wurzel ( 4 ^ 2 + 2 ^2 ) = 0
Der sogenannte Hessesche Divisor im Nenner ist beidemal
Wurzel(20).
Für den laufenden Punkt P'(x'/y') auf der Mittelparallelen gilt:
seine Abstände von g beziehungsweise von h sind
entgegengesetzt gleich:
Abstand ( P', g ) = - Abstand ( P', h )
(nur die Absolutbeträge sind gleich, nicht aber die Vorzeichen)
Wir setzen x' , y' an Stelle von x , y in die Normalformen ein
und erhalten aus der Abstandsbedingung sofort die Gleichung der Mittelparallelen m:
(4x +2y -14) / wurzel(20) = - ( 4x + 2y +3 ) / wurzel(20)
Die Wurzeln heben sich weg, die Striche haben wir ganz cool
weggelassen und übrig bleibt - oh Wunder- die Gleichung der
Mittelparallelen von früher !
Jetzt berechnen wir den Abstand a des Nullpunktes O von g
Mit Hesse kommt:
(0 + 0 - 14) / wurzel(20). Jedenfalls kommt ein negativer
Abstand heraus
Da aus der Skizze folgt, dass O und die Gerade h auf derselben
Seite von g ( in derselben Halbebene von g) liegen,
ist für den im Text genannten Abstand rechnerisch - 2 (nicht +2 )
einzusetzen.
Aus der Abstandsbedingung folgt als Gleichung der gesuchten
Parallelen sofort:
(4x + 2y -14 ) / wurzel ( 20 ) = - 2 oder vereinfacht:
2x + y - 7 + wurzel ( 20 ) = 0
Die Gerade sollte als Schlussbouquet ebenfalls ins Koordinatensystem
eingetragen werden .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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