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Beitrag |
    
Berti
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 1999 - 14:39: | 
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Eine Urne enthält 10 Kugeln. Eine Kugel trägt die Ziffer 1, zwei Kugeln tragen die Ziffer 2, drei Kugeln die Ziffer 3 und vier Kugeln die Ziffer 4. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Der Ausgang dieses Zufallsexperiments wird als zweistellige Zahl notiert; die zuerst gezogene Kugel liefert die Zehnerziffer, die andere die Einerziffer.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A: Die Zahl hat zwei gleiche Ziffern
B. Die Ziffern der Zahl sind verschieden
C: Bei der ersten Ziehung erscheint 2 oder 4
D: Die Summe der beiden Ziffern ist größer als deren Produkt.
b) Die Zufallsvariable X beschreibe die Quersumme der zweistelligen Zahl.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.
Bestimmen Sie das kleinste Intervall [6 - k; 6 + k], k E K, so daß X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % einen Wein aus diesem Intervall annimmt.
c) Aus der Urne wird nun dreimal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen; man erhält eine dreistellige Zahl.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei 20 solchen Zahlen weniger als viermal die Zahl 444?
Wie viele solche dreistellige Zahlen muß man erzeugen, um mit mehr als 80 %iger Wahrscheinlichkeit die Zahl 444 mindestens einmal zu erhalten?
d) Bei einem Spiel zahlt ein Spieler zunächst einen Einsatz an den Spielleiter. Anschließend zieht der Spieler mit einem Griff drei Kugeln aus der Urne. Sind alle drei gezogenen Ziffern gleich, so erhält der Spieler das Achtfache seines Einsatzes vom Spielleiter ausgezahlt. Kommt zweimal die Ziffer 2 vor, so erhält der Spieler das Vierfache seines Einsatzes. Erhält er die Ziffern 2, 3 und 4, so bekommt der Spieler das Doppelte seines Einsatzes. Bei allen anderen Ausgängen erhält der Spieler nichts.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des Spielers.
Zeigen Sie, daß das Spiel bei jedem Einsatz fair ist. |
Helmut
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 1999 - 23:38: |
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a)
A: P(beide gleich) = P(zwei 1er) + P(zwei 2er)+P(zwei 3er)+P(zwei 4er) = 1/10 * 1/10 + 1/5 * 1/5 + 3/10 * 3/10 + 2/5 * 2/5 = 1/100 + 1/25 + 9/100 + 4/25 = 30/100 = 3/10
B: P(Ziffern verschieden) = 1-P(beide gleich) = 1-3/10 = 7/10
C: P(2 oder 4) = P(2) + P(4) = 2/10 + 4/10 = 6/10 = 3/5
D: Das kommt nicht vor, also P=0
b)
Erwartungswert(Quersumme) = Erwartungswert(1.Ziffer) + Erwartungswert(2.Ziffer) = 2*Erwartungswert(1.Ziffer) = 2*(1*1+2*2+3*3+4*4)/10=2*30/10=6
Jetzt wird's aufwendiger. Ich hoffe für Dich da hilft noch jemand anderes beim Rest weiter.
Helmut |
Andreas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 1999 - 18:32: |
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Vorsicht, Fehler! D kommt sehr wohl vor, dann nämlich, wenn mindestens einmal die 1 gezogen wird. P(D)=19/100. |
Hans
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 1999 - 22:39: |
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Deine Aufgabe ist ganz interessant. Beim Zuruecklegen wird gezogen mit Wahrscheinlichkeiten
w1 = 1/10 fuer die Ziffer 1
w2 = 2/10 fuer die Ziffer 2
w3 = 3/10 fuer die Ziffer 3
w4 = 4/10 fuer die Ziffer 4
Fuer die Quersummen w(Q=n) gilt
w(Q=2) = 1/100 = w1*w1
w(Q=3) = 4/100 = w1*w2 + w2*w1
w(Q=4) = 10/100= w1*w3 + w2*w2 + w3*w1
w(Q=5) = 20/100= w1*w4 + w2*w3 + w3*w2 + w4*w1
w(Q=6) = 25/100= w2*w4 + w3*w3 + w4*w2
w(Q=7) = 24/100= w3*w4 + w4*w3
w(Q=8) = 16/100= w4*w4
Mittelwert (2*1+3*4+4*10+5*20+6*25+7*24+8*16)/100 = 6.00
Sigma^2 = (1*(2-6)^2+4*(3-6)^2^+....16*(8-6)^2)/100 = 2.00
Das gesuchte Intervall [6-2, 6+2]
c:
Wahrscheinlichkeit fuer 3 mal die 4
w(4,4,4) = w4*w4*w4 8/125
bei 20 Experimenten
w(n mal 444) = (1-8/125)^(20-n) * (8/125)^n * (20 ueber n)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Summe fuer n=0..3
Aus (1-8/125)^N <= 0.20 berechnet man die 80% Frage. (ueber den Log)
d:
Kein Zuruecklegen
w(3 mal die 4) = 4/(10 ueber 3) (eine von 4 bleibt drin)
w(3 mal die 3) = 1/(10 ueber 3) (keine Ziffer 3 bleibt)
w(3 mal gleiche Ziffer) = 5/120 Summe der beiden Werte
w(2 mal Ziffer 2) = 8/120 (8 Kugeln sind beliebig)
w(2,3,4) = 2*3*4/120 (2 mal Ziffer 2, 3 mal ...)
Gerechter Einsatz ?
(8*5 + 4*8 + 2*24)/120 = 1 ,d.h. gerecht.
Wenn Du noch Fragen hast, melde Dich.
Gruss |
Ruediger
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 1999 - 22:57: |
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Ich denke trotz der Verbesserung zu Aufgabe a) D. ist es immernoch nicht richtig. zwar ist die Annahme von Andreas, daß die 1 kommen muß richtig, allerdings ist die Summe nicht größer als das Produkt, wenn 2x die 1 gezogen wird! Die Wahrscheinlichkeit, daß 2x die 1 kommt beträgt (1/10)^2=0,01
Also ist die Lösung IMHO 0,19-0,01=0,18
Oder: [1-(9/10)^2]-(1/10)^2=0,18
ich hoffe mal, daß es jetzt endgültig richtig ist. |
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