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Michael
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 19:17: | 
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Hallo zusammen,
gegeben sei die Funktion
f(x) = W(2x) - x
Der Graph von f(x) und die x-Achse schliessen eine Fläche ein. Zeigen Sie, das das Volumen welches durch Rotation dieser Fläche UM DIE Y-ACHSE entsteht (16/15)pi beträgt.
Es wäre toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, also vielen Dank im Voraus!
Michael |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 21:16: |
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Hallo Michael,
f(x)=W(2x)-x
Nullstellen bei x=0 und x=2
Wir zerlegen das Volumen in Zylinder von Radius= x, Wandstärke= dx und Höhe=f(x)
Wir integrieren von x=0 bis 2.
V=\int[ , ]2x*pi*f(x)*dx=
=2*piò x(W2x)-x)dx=
2*piò [W(2)x3/2-x²]dx=
=2*pi[W(2)*(2/5)x5/2-x³/3] in den Grenzen von 0 bis 2.
Untere Grenze ergibt: Null
Obere Grenze:
2*pi[2W(2)/5*25/2-8/3]=
2*pi[(2/5)W(64)-8/3]=pi(32/5-16/3)=(16/15)*pi
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Michael
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 21:44: |
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Hallo Fern,
erstmal danke für die Lösung.
Zwar habe ich keine Probleme, Deine Rechnung nachzuvollziehen, im rechnerischen Sinn, auch das hier die Shell-Method verwendet wurde sehe ich, aaaabbeerr:
Ich verstehe einfach nicht, wieso ich hier direkt von 2 bis 0 integrieren kann. Nehmen wir mal folgendes an: Bestimme das Vol. der Fläche zwischen der Tangente im HP, der y-Achse und dem Graphen von f, welche sich um die y-Achse dreht.
Da ist der Fall für mich ganz klar: Weil nach x^2 nicht aufgelöst werden kann, verwende ich
dy = f`(x) dx usw. Das macht mir anschaulich keine Probleme, da diese Fläche in Richtung der y-Achse liegt. Aber die Fläche, um die es hier eigentlich geht, liegt nicht in Richtung der y-Achse. Wie kann ich denn das alles jetzt mathematisch begründen? Das die Grenzen 2 und 0 sind, liegt daran, das wir ja aufgrund o.g. Beziehung die Grenzen konvertieren müssen, o.k.
Könntest du das ganze ohne Shell-Method erläutern, also so das mir diese Blockade nicht mehr zu schaffen macht, ich weiß das es einfach zu verstehen ist, irgendwie weigere ich mich aber das so anzuerkennen. Bitte hilf mir da doch noch weiter!
Gruß
Michael |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 09:52: |
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Hallo Michael,
Ich hab dir zur Erklärung mal eine Skizze gemacht:
Sie zeigt die Fläche, die die Kurve mit der x-Ache einschließt.
Diese Fläche rotiert nur um die y-Achse. (Nicht im Bild gezeigt).
Um das Volumen zu bestimmen, schneiden wir aus dem Körper einen Hohlzylinder mit y-Achse als Achse, mit Radius=x, mit Höhe=f(x) und einer Wandstärke = dx.
Volumen eines solchen Hohlzylinders: 2r*p*f(x)*dx
Nun betrachten wir alle solche Hohlzylinder, d.h. Radius von 0 bis 2
und bilden die Summe der Volumina:
V=ò 2rp*f(x)*dx mit den Grenzen von 0 bis 2.
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Ich hoffe, dass dies jetzt verständlicher ist. Ich verstehe nicht ganz, wo du da Schwierigkeiten mit den Grenzen siehst.
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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 09:54: |
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Hat mit dem Bild nicht geklappt.
Also nochmal:
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Michael
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 13:26: |
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Hallo Michael,
ich habe inzwischen tief in meinem bescheidenen Archiv gegraben und bin dabei auf eine Erläuterung zu Shell-Method gestoßen, mit der ich keine Schwierigkeiten habe, deine Lösung zu verstehen. Mein Problem war nämlich, das ich noch die Scheiben-Methode anwenden wollte und irgendwie versagte da die Vorstellung, obschon es, wie ich nachgerechnet habe, natürlich dasselbe ist. Aber mit der Shell-Method ist es für mich anschaulicher und besser mathematisch begründbar, außerdem ist sie in diesem Fall auch schneller!
Nochmal herzlichen Dank!
Gruß
Michael |
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