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Michael (Mbc4dj)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 16:12: | 
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Ich brauche bitte schnelle Hilfe bei einem Bsp.
Wir bestimmen Gleichungen der Tangenten an die Ellipse 3x^2 + 4y^2 = 16, die parallel zur
Geraden 3x + 2y =4 sind. wie lauten die Koordinaten der Berührungspunkte?
So weit bin ich schon mal gekommen aber nun stecke ich bei den umformungen:
3x^2 + 4y^2 =16
3x + 2y = c
y= 1/2(c - 3x)
3x^2 + 4 * 1/4 (c-3x)^2 = 16
3x^2 + c^2 - 6xc + 9x^2= 16
nun stecke ich; bitte helft mir schnell da ichs für meine HÜ brauche
Vielen dank
Michael |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 21:36: |
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Hi Michael,
Gemäss Deiner Idee schneiden wir die Ellipse E mit einer
Parallelen p zur gegebenen Geraden.
Die Konstante c in Deinem Ansatz ist so zu wählen, dass je zwei zusammenfallende Schnittpunkte von p und E entstehen.
und p somit zu einer der beiden gesuchten Tangenten wird.
Wir erreichen dies, indem wir in der entstehenden quadratischen
Gleichung die Diskriminante D null setzen
(Diskriminantenmethode) .
Ausführung:
Mit y = - 3 / 2 * + c / 2 entsteht die
quadratische Gleichung für die Abszissen x1, x2 der Schnittpunkte
in vereinfachter Form :
12 x ^ 2 - 6 c x + c ^ 2 - 16 = 0
Wir setzen ihre Diskriminante D = 36 c ^2 - 48 * ( c^2 - 16 ) null
und erhalten die Lösungen in c:
c1 = 8 , c2 = - 8.
Mit diesen Werten rechnen wir aus der quadratischen Gleichung
je den x-Wert des Berührungspunktes aus .
Wir erhalten mit c = 8 sofort x = 2 und aus der Geradengleichung
den y-Wert y = 1
Mit c = - 8 den x-Wert x = - 2 und y = -1 .
Die beiden gesuchten Tangenten samt Berührungspunkt
sind, wie es ein muss, bezüglich des Mittelpunktes O der Ellipse
zentralsymmetrisch.
Bravo !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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