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sandra
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 10:11: | 
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hallo! ich weiss nicht, wie ich an folgende aufgabe
herangehen soll:
auf einer 10cm langen strecke AB wird zufällig ein
teilungspunkt C gewählt und ein rechteck mit den
seitenlängen AC und CB gebildet. Der flächeninhalt des
rechtecks ist eine zufallsgrösse X: Zu bestimmen sind
F(x) und f(x), E(x) und D^2(X).
es wäre super, wenn ihr mir helfen und den rechenweg
erklären könntet! |
dakir
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 11:22: |
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Hallo Sandra,
Die Länge der Strecke AC ist eine Zufallsvariable, nennen wir sie Y. Für die Größe des Rechteckes ergibt sich somit
X = Y * (10 - Y) = 10 * Y - Y^2
Diese Darstellung hat den Vorteil, daß wir die Verteilung von Y (Rechteckverteilung!) kennen.
Berechnen wir nun F(x).
Für x < 0 ist F(x) = 0
Für x > 25 ist F(x) = 1 (da 25 die maximale Fläche ist).
Sei also im folgenden 0 < x < 25:
F(x) = P(X < x) = P(10 * Y - Y^2 < x)
Schauen wir uns diese Ungleichung etwas genauer an:
10 * Y - Y^2 < x
Y^2 - 10 * Y + x > 0
Auflösen der Gleichung
Y^2 - 10 * Y + x = 0
ergibt
Y_1 = 5 + sqrt(25 - x) (sqrt steht für Wurzel)
Y_2 = 5 - sqrt(25 - x)
Also ist
Y^2 - 10 * Y + x = (Y - Y_1) * (Y - Y_2) =
(Y - 5 - sqrt(25 - x)) * (Y - 5 + sqrt(25 - x))
(Y - 5 - sqrt(25 - x)) * (Y - 5 + sqrt(25 - x)) > 0
bedeutet
a)
Y - 5 - sqrt(25 - x) > 0 und Y - 5 + sqrt(25 - x) > 0
oder
b)
Y - 5 - sqrt(25 - x) < 0 und Y - 5 + sqrt(25 - x) < 0
a)
Y > 5 + sqrt(..) und Y > 5 - sqrt(..)
Diese beiden Bedingungen sind gleichwertig mit
Y > 5 + sqrt(..)
b)
Y < 5 - sqrt(..) und Y < 5 + sqrt(..)
gleichwertig mit
Y < 5 - sqrt(..)
Also haben wir insgesamt:
Y^2 - 10 * Y + x > 0,
wenn Y < 5 - sqrt(25 - x)
oder Y > 5 + sqrt(25 - x)
Also
F(x) = P(X < x) = P(Y^2 - 10 * Y < x) =
P(Y < 5 - sqrt(25 - x) oder Y > 5 + sqrt(25 - x))
Da Y < .. und Y > .. in diesem Fall zwei disjunkte Ereignisse sind, kann man das oder mit einem "+" auflösen:
P(Y < 5 - sqrt(25 - x)) + P(Y > 5 + sqrt(25 - x)) = P(Y < 5 - sqrt(25 - x)) + 1 - P(Y < 5 + sqrt(25 - x)) (Gegenereigniss!)
=> F_Y(5 - sqrt(25 - x)) + 1 - F_Y(5 + sqrt(25 - x))
(F_Y ist die Verteilungsfunktion von Y).
F_Y(x) kennen wir: Y ist rechtecksverteilt, also gilt für 0 < x < 10:
F_Y(x) = x / 10
Da 0 < 5 +/- sqrt(25 - x) < 10 für 0 < x < 25
F(x) = F_Y(5 - sqrt(25 - x)) + 1 - F_Y(5 + sqrt(25 -x)) =
1 + (5 - sqrt(25 - x) - 5 - sqrt(25 - x)) / 10 =
1 - sqrt(25 - x) / 5
F(x) = 0 für x < 0
F(x) = 1 - sqrt(25 - x) / 5 für 0 < x < 25
F(x) = 1 für x > 25
Durch Ableiten erhalten wir f(x):
f(x) = 1 / (10 * sqrt(25 - x)) für 0 < x < 25
f(x) = 0 sonst
Hieraus E(X) mittelns Integral über xf(x) zu berechnen, dürfte wohl schwer sein. Daher verwenden wir wieder X = 10 * Y - Y^2:
E(X) = E(10 * Y - Y^2) = 10 * E(Y) - E(Y^2)
E(Y) ist natürlich 5 (5 ist die Mitte der Strecke!).
E(Y^2) = Integral(y^2 * f_y(y)) = Integral[0 bis 10](y^2 / 10)
(f_y bezeichnet die Dichtefunktion von Y, da Rechteckverteilung const. 1 / 10 für 0 < y < 10)
E(Y^2) = [0, 10]y^3 / 30 = 100 / 3
E(X) = 50 - 100 / 3 = 50 / 3 = 16.66...
Was ist mit D^2(x) gemeint???
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich. Wenn Du noch Fragen hast, versuch ich gerne sie Dir zu beantworten.
Viel Glück, Daniel |
sandra
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 12:21: |
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hallo daniel!
vielen dank; mit deiner antwort hast du mir sehr
geholfen.
(mit D^2 ist die streuung (varianz) gemeint) |
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