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Hilflos
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 14:27: | 
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Hallo, ich habe hier eine Funktion die ich zum einen diskutieren soll und zum anderen deren Maßzahl der Normalfläche über [0;1] berechnet werden soll.
f(x)= arcsin ((2*wurzel aus x)/(x+1))
Also a)Kann mir jemand die 1. Ableitung verraten
(bei 1 soll sie nicht ableitbar sein, WARUM?)
und b)kann mir jemand zeigen wie ich die
Maßzahl bekomme
Es wäre echt toll wenn irgendwer mir noch heute helfen könnte. |
Hilflos
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 17:23: |
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Das ist ja zum verzweifeln!
Kann mir niemand helfen?
Ist irgendwas mit meiner Aufgabenstellung nicht in Ordnung?
Bitte, wenn diese Sache ohnehin nicht funktionieren kann, dann, bitte, schreibt mir auch das. Nur gib mir jemand ein Zeichen! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 19:34: |
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Hi
Hilfe ist unterwegs,
Deine Aufgabe ist durchaus in Ordnung,
aber nicht ganz elementar.
Die gegebene Funktion ist maskiert;
Wenn wir sie demaskieren, ist sie identisch mit der etwas
einfacheren Funktion y = 2 * arctan [wurzel (x)]
(Beweis folgt)
A) die Ableitung erhält man mit Hilfe der Kettenregel und der
einschlägigen Formel für die Ableitung der Arcustangensfunktion
Es kommt:
y ' = 2 * [1 / ( 1 + {wurzel(x)}^2 ) * [ 1 / (2 * wurzel(x))] =
= 1 / [(1 + x ) * wurzel(x) ]
B) Unbestimmtes Integral J
Partielle Integration und Substitution:
J = 2 * int [1* arctan (wurzel(x)) * dx]
Bei der partiellen Integration ist der Faktor 1 das u' ,
der arctan das v
Also:
J/2 = x*arctan (wurzel(x)) - int [x * {1 / (2*wurzel(x)} / (1+x) * dx]
= x*arctan (wurzel(x)) - 1 / 2 *int [ wurzel(x) / (1+x) * dx ]
Im Integral ganz rechts substituieren wir wurzel(x) = u,
also ist x = u ^ 2 und dx = 2 * u * du ,
somit wird aus dem genannten Integral ganz rechts
int [u * 2 * u / ( 1 + u ^ 2) * du] = (Trick: +1 -1 = 0 !)=
int [ (u ^ 2 + 1 -1 ) / (1 + u ^ 2 ) * du]
Dises Integral zerlegen wir in eine Summe zweier Integrale:
und erhalten nach erfolgter Integration: u - arctan u
Macht man die Substitution rückgängig und fasst alles
zusammne, so kommt:
J/2 = x * arctan (wurzel(x)) -wurzel(x) +arctan (wurzel(x))
Daraus sofort J durch Multiplikation mit 2 (selber machen !)
Für das bestimmte Integral J* in den Grenzen 0 bis 1
bekommt man den Wert:
J* = Pi - 2 .
Ergänzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 20:40: |
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Hi
Als Ergänzung folgt die Herleitung der Identität der Funktionen
f(x) = arcsin [2*wurzel(x) ) / (x + 1) ] und g(x) = arctan[wurzel(x)]
im Intervall [0,1] zumindest.
Aus der Goniometrie benützen wir die Doppelwinkelformel
der Tangensfunktion:
tan(2 * omega ) = 2* tan (omega) / [1 - { (tan (omega) } ^ 2]
Ersetzt man darin omega durch phi /2 und
2 * omega durch phi , so erhält man eine Halbwinkelformel
tan(phi) = 2* tan(phi/2) / (1 - tan^2(phi/2)) ,
die wir weiter unten benützen werden.
Aus y = arcsin [2 * wurzel(x) / (x +1) ] folgt sofort:
sin y = 2 * wurzel (x) / ( x + 1) ; weiter
(cos y) ^ 2 = ( x -1 ) ^ 2 / ( x + 1 ) ^ 2, also
cos y = ( x - 1 ) / ( x + 1 )
Daraus tan y = sin y / cos y = - 2 * wurzel(x) / (1 -x).
Jetzt benützen wir die oben erwähnte Halbwinkelfotmel
und identifizieren y mit phi ,d.h.
wurzel(x) mit tan(-y/2) , x mit tan^2( y / 2);
kurzum:
aus x = tan ^2 ( y / 2 ) folgt:
y = 2 * arctan(wurzel(x)) ,w.z.b.w.
Anmerkung
Wie die Ableitungsfunktion von y(x) nach x zeigt, ist y(x) bei
x = 0 nicht differenzierbar; die Ableitng hat bei x = 0 einen Pol
(Unendlichkeitsstelle) ;der Graph (!) berührt im Nullpunkt die
y-Achse.
Zum Schluss möchte ich bitten, die Probleme frühzeitig genug
ins Board zu stellen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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