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Beitrag |
    
Martin Kreißig (Martin1893)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 13:14: | 
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Bestimme eine Gleichung der Ebene durch A(2/3/4) und B(6/5/16), welche vom Ursprung den Abstand 2 hat.
Vielen Dank!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 14:29: |
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Hi Martin,
Wir säumen das Pferd am Schwanz auf
und diskutieren die Aufgabe zuerst anhand des Resultates
Es gibt zwei Ebenen der verlangten Art,
Die Gleichungen sind
E1: 2 x + 2 y - z - 6 = 0
E2 :- 6 x +18 y - z - 38 = 0
Kontrolle:
1.
Die Koordinaten beider Punkte A( 2 / 3 / 4) und B( 6 / 5 / 16 )
befriedigen je beide Gleichungen ; davon überzeugen wir uns
durch eine einfache Kopfrechnung !
2.
Beide Ebenen haben vom Nullpunkt einen Abstand,
dessen Absolutbetrag 2 ist..
Davon überzeugen wir uns mit der Formel von Hesse.
Wir bringen die Gleichungen auf Normalform (NF).
NF von E1: ( 2 x + 2 y - z - 6 ) / wurzel (2^2 + 2^2 + 1^2) = 0
Man erhält den Abstand h1 des Nullpunktes O von E1,
indem man x = y = z = 0 in die NF einsetzt:
h1= -6 / wurzel(9) = -2
NF von E2:: ( - 6x +18y - z - 38 ) / wurzel (6^2 +18^2 +1^2) = 0
x = y = z = 0 eingesetzt gibt h2 (Abstand O - E2) :
h2 = - 38 / wurzel(369) = -2
Herleitung
Die Koeffizienten a,b,c,d in einer Ebenengleichung sind nur
bis auf Proportionalität bestimmt.
Daher können wir einen der Koeffizienten festlegen
Wahl: d = 1 (die Ebene geht sicher nicht durch den Nullpunkt,
also ist d keineswegs null !)
Ansatz für die Gleichung der gesuchten Ebene E:
a x + b y +c z = 1
Nun setzen wir die Koordinaten der gegebenen Punkte A und B
ein und erhalten die Gleichungen:
2a + 3b + 4c = 1
6a + 5b + 16 c = 1
Auflösung dieses Systems nach a und b.
Wir haben nämlich die Absicht, a und b durch die
dritte Konstante c auszudrücken
Wir finden leicht:
a = - 1 / 4 - 7 /2 * c
b = c + 1 / 2
Diese Werte für a und b tragen wir in den
obigen Ansatz für die Gleichung der Ebene E ein,
und wir bekommen nach Wegschaffung aller Brüche:
(-1 - 14 c ) x + ( 2 + 4 c ) y + 4 c z - 4 = 0
Mit dem Divisor W = wurzel [(-1-14c)^2 + (2+4c)^2 + 16 c^2] =
wurzel ( 228 c^2 + 44c +5 ) schreiben wir E in Normalform:
[ ( - 1 - 14 c ) x + ( 2 + 4c ) y + 4 c z - 4 ] / W = 0
Nun realisieren wir die Bedingung
"Abstand des Nullpunktes O von E ist + - 2 " und erhalten eine Wurzelgleichung für c
4 / W = 2
Wir quadrieren und schaffen den Nenner weg
Durch Vereinfachung entsteht die quadratische Gleichung für c :
228 c ^ 2 + 44 c + 1 = 0 mit den Lösungen c1, c2:
c1 = - 1 / 6 , daraus a1 = 1/3 , b1 = 1 /3
c2 = - 1 / 38, daraus a2 = - 3 / 19 , b2 = 9 / 19
Setzt man diese beiden Wertetripel in den Ansatz
der Ebenengleichung ax + by +cz -1 = 0 ein,
so erhält man die eingangs erwähnten Lösungen .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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