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Heiko
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 11:57: | 
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Kann mir mal jemand sagen, wie ich das Integral von:
(x+1)/(x*Wurzel(x+2))
lösen kann ?
Irgendwie kriegen wir immer was dummes raus.
Wenns geht mit Lösungsweg ?!?
THX. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 14:56: |
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Hi Heiko,
Wir zerlegen Dein Integral J in eine Summe zweier Integrale:
J = J1 + J2 mit
J1 = int [x / {x * wurzel (x+2)} * dx ]
J2 = int [ 1/{x* wurzel (x+2)} * dx ]
Im ersten Integral hebt sich x weg und als Resultat ergibt sich sofort:
J1 = 2 * wurzel (x+2) wie man sich durch Ableiten der rechten Seite
nach x überzeugt
Etwas schwieriger wird die Berechnung von J2.
Hier hilft die Substitution
wurzel (x + 2) = u ; daraus ergibt sich x = u ^ 2 -2
und für die Differentiale dx, du gilt:
dx = 2*u*du ; setzt man das im Integranden Q von J2 ein ,
so erhält man
Q = 1 / { x * wurzel (x+2) } * dx = 2 / ( u^2 - 2 )
Jetzt zerlegen wir Q in Partialbrüche:
Ansatz: Q = A / [u + wurzel(2)] + B / [ u - wurzel(2)]
Gleichnamig machen, Brüche addieren und Koeffizienten vergleichen !
Aus der Identität
2 = (A + B ) * u - A* wurzel(2) + B * wurzel(2)
folgt das Gleichungssystem:
A+B = 0
( B - A ) * wurzel(2) = 2
Lösungen: A = - wurzel(2) / 2 , B = wurzel(2) / 2
Setzen wir diese Werte bei Q ein , so können wir zur
Ermittlung von J2 gliedweise integrieren, und wir erhalten
lauter Logarithmen:
J2 = - wurzel(2)/2 * ln ( u + wurzel(2) ) +
+ wurzel(2)/2 * ln ( u - wurzel(2) )
Wir fassen dies zu einem einzigen logarithmus naturalis zusammen
und machen die Substitution rückgängig
Für J2 kommt:
J2 =
wurzel(2)/2 * ln [{wurzel(x+2) -wurzel(2)}/{wurzel(x+2)+wurzel(2)}]
Zusammen mit J1 und einer Integrationskonstanten ergibt sich so das
begehrte Schlussresultat.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 22:14: |
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Hallo H.R. Moser,
ich fand Heikos Integral interessant, bin aber ab dem Aufsplitten von J in J1 und J2 einen anderen Weg für J2 gegangen und zwar mit der Substitution u = (x+1)/(x).
Das Integral führt dann auf die Stammfunktion
F(x) = - 1/W(2) * Arcosh ((x+4)/(x))
Wie lassen sich die unterschiedlichen Ergebnisse interpretieren?
Gruß
 Oliver |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 15:51: |
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Hi Oliver,
Ich bin der Sache nachgegangen und habe festgestellt,
dass wieder einmal alle Beteiligten Recht haben
Es gesellt sich auch das Computer-Algebra -Programm
Maple V dazu,welches ein drittes Resultat für J2 liefert,
nämlich :
J2 * = - wurzel(2) * artanh [{wurzel ( 2x + 4 )} / 2 ]
Eine frappierende Aehnlichkeit mit Deiner Lösung
J2 ** = - 1 / wurzel (2) * arcosh [(x+4) / x]
ist offensichtlich.
Daneben nimmt sich meine Lösung
J2 *** =
-1/wurzel (2)*ln [wurzel(x+2)+wurzel(2)}/{wurzel(x+2)-wurzel(2)}]
recht schwerfällig aus
Die Sterne sollen keine Qualitätsmerkmale wie etwa beim Cognac
bedeuten, sie dienen bloss als Unterscheidungsmerkmale.
Man bringt nun alle drei Resultate unter einen Hut,
wenn man von den folgenden Formeln für die Areafunktionen
Gebrauch macht:
Ar cosh z = ln [ z + wurzel (z^2 - 1) ] , 1 < = z
Ar tanh z = 1 / 2 * ln [(1 + z ) / ( 1 - z ) ] , z absolut < 1 .
Daneben ist es nicht einmal so, dass sich unsere Stammfunktionen
J2** und J2*** z.B. durch eine additive Konstante unterscheiden
würden
Es gilt zB.:
J2** (1) = J2***(1) ~ - 1.62099398
Damit ist die Angelegenheit , so hoffe ich , geklärt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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