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Beitrag |
    
lizzy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. April, 2002 - 14:58: | 
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 Bin total verzweifelt!
Ich hab von euch Hilfe bekommen und kann nicht alles nachvollziehen!
Ich benötige nähere Erleuterungen zu den Ableitungen von
(a/2)*(e^(x/a)+e^(-x/a))!
Thanks a lot!
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A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 10:33: |
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Hallo Lizzy
fa(x)=(a/2)(ex/a+e-x/a)
a/2 ist ein konstanter Faktor, den du beim Ableiten einfach mitschleppen musst (er ändert sich nicht).
Damit können wir die Funktion fürs Ableiten zunächst mal auf die Funktion
g(x)=ex/a+e-x/a reduzieren
Diese Funktion läßt sich nun weiter zerlegen in
h1(x)=ex/a und
h2(x)=e-x/a
Nun musst du noch wissen, wie man e-Funktionen ableitet:
Es gilt (ex)'=ex und
(emx)'=m*emx wobei m die Ableitung von mx ist.
Dies übertragen wir nun auf h1:
h1(x)=ex/a=e(1/a)*x
=> h1'(x)=(1/a)*e(1/a)*x=(1/a)*ex/a
Mit h2 verfahren wir nun ebenso:
h2(x)=e-x/a=e-(1/a)*x
h2'(x)=-(1/a)*e-(1/a)*x=-(1/a)*e-x/a
=> mit g(x)=h1(x)+h2(x)
g'(x)=h1'(x)+h2'(x)
g'(x)=(1/a)*ex/a-(1/a)*e-x/a |(1/a) ausklammern
g'(x)=(1/a)[ex/a-e-x/a]
Wegen f(x)=(a/2)*g(x) folgt nun
f'(x)=(a/2)*g'(x)
f'(x)=(a/2)*(1/a)*(ex/a-e-x/a)
f'(x)=(1/2)*(ex/a-e-x/a)
ist damit die 1. Ableitung von f(x).
Bei der 2. und 3. Ableitung verfährst du ebenso.
Ich denke, die schaffst du nun alleine.
Falls noch Probleme auftauchen, melde dich einfach noch einmal.
Mfg K.
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lizzy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 15:49: |
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Hey,Brainmaster !
Erstmal DANKE für den Beitrag oben!
Ich hab da jetzt ne Menge Licht im Dunkeln!
Bei einer Beispielaufgabe habe ich allerdings ein Problem!Dabei konnte mir bis jetzt noch keiner helfen.
gegeben sei: 7-1/2(e^(0.3*x)+e^(-0.3*x))
Aufgabe: Schnittstellen mit x-Achse
(Nullstellen)
wobei > e^(0.3*x)=z
(Substituieren)
Lsg: 7-1/2(z+z*e^-1) [- null setzen
[- (-7)
[- *(-2)
> 14=z+z*e^-1
Bis dahin bin ich gekommen!
Wie aber weiter?
Ich schreib mal was ich tun würde!
14=z*1+z*e^-1 [z ausklammern
14=z(1+e^-1) [/ (1+e^-1)
z=14/(1+e^-1)
Das wäre meine Idee,dann stimmt aber das
Ergebnis nicht!
Aber wie komme ich darauf?
Etwa: mit 0.3*x=z
und-0.3*x=z oder -z
> 14=e^z+e^z oder 14=e^z+e^-z
Aber dann fällt z raus oder ist doppelt und dann
stimmt das Ergebnis halt auch nicht!
Was hab ich vergessen oder übersehen???
Ich dank dir wiedereinmal!!!
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Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 16:25: |
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7-1/2(e^(0.3*x)+e^(-0.3*x))
setze z:= e^(0.3x), dann ist e^(-0.3x)=z^(-1)=1/z
7-1/2(z+1/z)=0 // *2z
14z-z^2-1=0
z^2-14z+1=0
z1,2=7+-SQRT(48)
7+SQRT(50)= e^(0.3x) oder 7-SQRT(51)= e^(0.3x)
ln(7+SQRT(50))=0.3x [zweite Lsg gibt es nicht, da e^(0.3x)> 0
(10/3)ln(7+SQRT(48))=x
x=8.779719312
bei deiner ersten Substitution
wäre
7-1/2(z+z*e^-1) mit z=e^(0.3*x)
7-1/2(e^(0.3x)+e^(0,3x)e^-1)
7-1/2(e^(0.3x)+e^(0,3x-1))
Der Fehler lag also im Potenzgesetz: "Potenzieren werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden ..."
Gruß
Peter
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Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 16:28: |
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7-1/2(e^(0.3*x)+e^(-0.3*x))
setze z:= e^(0.3x), dann ist e^(-0.3x)=z^(-1)=1/z
7-1/2(z+1/z)=0 // *2z
14z-z^2-1=0
z^2-14z+1=0
z1,2=7+-SQRT(48)
7+SQRT(48)= e^(0.3x) oder 7-SQRT(48)= e^(0.3x)
ln(7+SQRT(48))=0.3x oder ln(7-SQRT(48))=0.3x
(10/3)ln(7+SQRT(48))=x oder (10/3)ln(7-SQRT(48))=x
x=8.779719312 oder x=-8.779719312
bei deiner ersten Substitution
wäre
7-1/2(z+z*e^-1) mit z=e^(0.3*x)
7-1/2(e^(0.3x)+e^(0,3x)e^-1)
7-1/2(e^(0.3x)+e^(0,3x-1))
Der Fehler lag also im Potenzgesetz: "Potenzieren werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden ..."
Gruß
Peter
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lizzy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 14:47: |
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Hi ich muss euch nochmal in Anspruch nehmen!
Meine Aufgaben
1. Berechne den Flächeninhalt im I=[-8,7;8,7]
7-(1/2)*(e^(0.3x)+e^(-0.3x))
2. Zeige dass f(x) keine Wendepunkte hat!
f(x)= (1/2)*(e^(x/a)+e^(-x/a))
Gutes Gelingen!
Und natürlich vielen Dank!!! |
Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 16:58: |
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Hi Lizzy,
also bei 1.) ist das Integral von -8,7 bis 8,7 über f(x) dx zu berechnen. Dazu benötigen wir eine Stammfunktion.
Sauber und ausführlich kann man das per (linearer) Substitution lösen, weiß natürlich nicht, ob ihr das gemacht habt.
Also machen wir's auf clevere Weise:
Wir wissen, dass die e-Funktion abgeleitet wieder die e-Funktion ergibt. Hier muss allerdings nach Ketteneregel abgeleitet werden, da im Exponenten ja nicht x, sondern 0.3x bzw -0.3x steht.
Suchen wir zunächst eine Stammfunktion für e^(0.3x). Der Teil e^(0.3x)muss auch in der Stammfunktion vorkommen.
T(x)= ???? e^(0.3x)
t(x)= e^(0.3x)
Leitet man T(x) nach Kettenregel ab, so muss sich t(x) ergeben:
T'(x)= ???? 0.3 * e^(0.3x) [innere * äußere Ableitung]
Meine Fragezeichen müssen dafür sorgen, dass der Faktor 0.3 verschwindet, sie müssen also 1/0.3 =10/3 sein =>
T(x)=10/3 e^(0.3x)
Analog ergibt sich
U(x)= -10/3 e^(-0.3x)als Stammfunktion zu u(x)= e^(-0.3x)
Der Rest ist Spielerei:
f(x)= 7-(1/2)*(e^(0.3x)+e^(-0.3x))
F(x)= 7x-(1/2)*(10/3)(e^(0.3x)-e^(-0.3x))
= 7x-(5/3)(e^(0.3x)-e^(-0.3x))
Jetzt nach dem Hauptsatz
F(8,7)-F(-8,7) berechnen:
38.11235767 - (-83.68764232) = 121,8
2.)Notwendige Bed. für eine WS ist f''(x)=0, also müssen wir zweimal ableiten, Achtung Kettenregel!
f(x)= (1/2)*(e^(x/a)+e^(-x/a))
f'(x)= (1/2)*((1/a)e^(x/a)-(1/a)e^(-x/a))
= (1/(2a))*(e^(x/a)-e^(-x/a))
f''(x)= (1/(2a))*((1/a)e^(x/a)+(1/a)e^(-x/a))
= (1/(2a^2))*(e^(x/a)+e^(-x/a))
Will man jetzt f'' = 0 setzen, so kann man keine Lösung finden, denn e^z > 0 für alle z aus IR, damit ist die hintere Klammer auf jeden Fall > 0
1/(2a^2) ist ebenfalls für alle a (a=0 müsste sinnvollerweise in der Aufgabenstellung ausgeschlossen sein) > 0, damit kann es keine WS geben.
Gruß
Peter
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