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User
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. April, 2002 - 14:56: | 
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Gebildet verden musste ja:
lim h->0 ( (e^(x+h) - e^x) / h )
= lim h->0 ( (e^x + e^h - e^x) / h )
= lim h->0 ( e^x (e^h - 1) / h )
= e^x * lim h->0 (e^h - 1) / h
Also gild noch zu beweisen, das der
lim h->0 ((e^h -1) / h) = 1 ist.
wer kann mir da helfen? |
Xell
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 01:01: |
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Hi, User!
Probieren wir mal L'Hôspital:
d/dh(e^h-1)/(d/dh h) = e^h
...Womit wir das Ergebnis auf einen Schlag erhalten.
Gruß, X |
Client
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 01:13: |
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Hi User, kleine Korrektur:
in der zweiten Zeile sollte es wohl heißen
= lim h->0 ( (e^x * e^h - e^x) / h )
ich weiß nicht, ob es richtig ist, was ich dir schreibe, aber da diese Frage schon einmal beantwortet worden ist, kann es sicher nicht schaden, wenn ich noch etwas dazusetze. Falls es falsch ist - vergiss es bitte einfach...
Um zu zeigen, dass
lim h->0 ((e^h -1) / h) = 1
gilt, gibt es zwei Möglichkeiten.
Beide haben etwas mit dem Zusammenhang zwischen e und einer Folge zu tun.
(1)
die erste Möglichkeit, die Gültigkeit zu zeigen, beruht darauf, dass e der Grenzwert der Folge (1 + 1/n)n ist.
Der Beweis steht an einer Stelle hier im Board, die ich aufgrund der Umstrukturierung der Archivsuche nicht wiederfinde.
e ist gleich limn -> oo(e), also gilt:
limn -> ooe = limn -> oo(1 + 1/n)n , und damit gilt nach dem Ziehen der n-ten Wurzel auf beiden Seiten auch:
limn -> oo(e1/n) = limn -> oo(1 + 1/n)
und nach Subtraktion von 1 auf beiden Seiten auch:
limn -> oo(e1/n -1) = limn -> oo(1/n)
setze n=1/h , also 1/n = h, dann heißt die neue Zeile:
limh -> 0(eh -1) = limh -> 0(h)
und Division durch h auf beiden Seiten:
limh -> 0( (eh -1)/h ) = 1
was die gesuchte Zeile war.
(2)
Über die Definition der Exponentialfunktion ex als Summe über die Folge mit den Gliedern xn/n!
Es gilt ex = 1 + x1/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...
also
eh -1 = h1/1! + h2/2! + h3/3! + h4/4! + ...
und
(eh -1)/h = h0/1! + h1/2! + h2/3! + h3/4! + ...
und damit ist
limh -> 0(eh -1)/h = limh -> 0(h0/1! + h1/2! + h2/3! + h3/4! + ... )
alle (grünen) Summanden fallen im Grenzübergang h->0 weg, es bleibt nur der Summand h0/1! = 1
qed
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 13:40: |
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Hi, User!
Probieren wir mal L'Hôspital:
d/dh(e^h-1)/(d/dh h) = e^h
...Womit wir das Ergebnis auf einen Schlag erhalten.
Gruß, X
Da beißt sich die Katze in den Schwanz : Du beweist etwas, indem Du das zu beweisende als Voraussetzung verwendest(nämlich die Ableitung der e-Funktion, die Du ja für L'Hospital benötigst)
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Xell
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 22:26: |
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Hi, Ingo!
Richtig, ich hab tatsächlich nen Zirkelschluss hinbekommen.
Dafür hier ein Alternativbeweis, der voraussetzt, dass
e^x als Umkehrfunktion von ln(x) definiert ist und die
Logarithmengesetze bekannt sind (geht auch ohne e^x):
ln(e^x) = x |differenzieren
=> 1/e^x * (e^x)' = 1
<=> (e^x)' = e^x
Gruß, X
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Client
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 23:37: |
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Hallo ihr,
ist mein Rechenweg denn ok?
Beim Ziehen der n-ten Wurzel auf beiden Seiten und bei der Division durch h auf beiden Seiten habe ich Bedenken
oder lassen die "lim" alles mit sich machen, was auch Gleichungen mit sich machen lassen?
@Xell:
Hast du die Aussage benutzt, dass die Ableitung von ln(x) gleich 1/x ist, oder habe ich was falsch verstanden?
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N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 08:29: |
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Hi Client,
hast alles richtig gemacht und verstanden!.
Gruß N. |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 11:43: |
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Muß Dir leider widersprechen N., der erste Beweisansatz ist nicht richtig.
Gegenbeispiel :
limn->00(1/n) = limn->00(1/nn)
aber
1 = limn->00(1/n)1/n ¹ limn->00(1/nn)1/n = 0
Der zweite Ansatz stimmt. |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 15:06: |
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Hast recht Ingo!
Gruß n. |
Xell
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. April, 2002 - 15:04: |
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@Client: Wir definieren ln(x) := int(1/t,t=1..x)
und e^x auf R+ durch ln(e^x)=e^(ln(x))=x.
Damit ist dann klar, dass ln'(x)=1/x.
mfg, X |
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