| Autor |
Beitrag |
    
Tobias (xsapling)
Neues Mitglied
Benutzername: xsapling
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. April, 2002 - 23:18: | 
|
Hallo,
Ich hab hier eine monströse Matheaufgabe die ich so ohne Weiteres net lösen kann.
Es sein zwei Funktionen gegeben f(x)=ex/2 und g(x)=e3/2-x/4
a) Gefragt ist, wo sich die beiden Funktiongraphen schneiden würden. Und wie groß der Schnittwinkel ist??
Den Schnittpunkt würd ich durch Gleichsetzen ermitteln, aber ich zerbrech ma hier seit Stunden den Kopf wie ich an den Winkel komme.
b) Eine Ursprungsgerade h ist die Tangente an den Graphen von f. Wo liegt der BErührpunkt von f und h? Wie lautet die Geradegleichung von h?
((hier bin ich ratlos))
c) Gesucht sind jewiles eine Stammfunktion F von f und G von g
##################
ICh hab zum Thema Stammfunktionen leider nichts mehr. Es liegt so lang zurück. Is jemand so lieb und könnte mir sagen wie eine Stammfunktion zu bilden ist
#############
Für Hilfe die ich grad brauchen könnte bin ich echt dankbar. |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. April, 2002 - 10:56: |
|
Hallo Tobias
a) Schnittpunkt bestimmen; also gleich setzen
f(x)=g(x)
<=> ex/2=e(3/2)-(x/4)
<=> x/2=(3/2)-(x/4) |*4
<=> 2x=6-x |+x
<=> 3x=6 |:3
<=> x=2
wegen f(2)=e2/2=e lautet der Schnittpunkt
S(2|e)
Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen den Tangenten im Punkt S an die beiden Kurven.
Ableitungen an der Stelle x=2 bilden:
f'(x)=(1/2)ex/2 => f'(2)=(1/2)e
g'(x)=-(1/4)e(3/2)-(x/4) => g'(2)=-(1/4)e(3/2)-(1/2)=-(1/4)e
Für den Winkel zwischen zwei Geraden gilt die Formel
tan(g1,g2)=|(m2-m1)/(1+m1*m2)| also hier
tana=|(-(1/4)e-(1/2)e)/(1+(-(1/4)e)*(1/2)e)|
=|(-(3/4)e)/(1-(1/8)e²)|=26,6958896
=> a=87,85° bzw. 180°-87,85°=92,15°
b) Sei B(xo|yo) der Berührpunkt.
Mit yo=f(xo)=exo/2 gilt B(xo|exo/2)
Eine Gerade durch den Ursprung und B hat die Gleichung
y=(exo/2/xo)*x
Mit f'(xo)=(1/2)exo/2 folgt
exo/2/xo=(1/2)exo/2|*xo
<=> exo/2=(1/2)xo*exo/2 |:exo/2
<=> 1=(1/2)xo |*2
<=> xo=2
also ist der Berührpunkt B(2|e)
=> y=e/2*x ist die Gleichung der Geraden h.
c) F(x)=2ex/2+C
G(x)=-4e(3/2)-(x/4)+C
Mfg K. |
juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. April, 2002 - 11:05: |
|
Hallo Tobias
a) Wenn Du den Schnittpunkt hast, berechnest Du die Steigung m1 der Tangente an f und die Steigung m2 der Tangente an g in diesem Schnittpunkt.
Ich geb Dir zur Hilfe die beiden Ableitungen an, in die du den x-Wert Deines Schnittpunktes einsetzt, um m1 und m2 zu erhalten:
f'(x) = (1/2)*exp(x/2)
g'(x) = -(1/4)*exp(3/2-x/4)
Der Schnittwinkel phi der beiden Kurven ist der Winkel, den beide Tangenten miteinander einschliessen, er berechnet sich zu (findest Du in Deiner Formelsammlung)
tan(phi) = (m2-m1)/(1+m1*m2)
b) Ursprungsgerade
h(x) = m*x
Da h Tangente an f ist, d.h. (xB/yB) ist der Berührpunkt, gilt
m = f'(xB) => m = (1/2)*exp(xB/2)
und der Punkt liegt sowohl auf h als auch auf f,
yB = m*xB
yB = exp(xB/2)
Das sind drei Gleichungen für die drei Unbekannten m, xB, yB. Die zu lösen kriegst Du doch hin, oder?
c) F = 2*exp(x/2)
G = -4*exp(3/2-x/4)
jeweils noch mit einer additiven beliebigen Konstanten. Verifiziere das, indem Du F und G ableitest!
Gruss
J. |
|
