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Max Mustermann (seppel)
Neues Mitglied
Benutzername: seppel
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 11:01: | 
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Hey ihr lieben Mathe-genies,
habe eine, wahrscheinlich simple Frage zu einer Ableitungsregel, und zwar bei Wurzelfunktionen... Kann mich nicht mehr so recht erinnern, wie das ging.
=> Für eine Taylorentwicklung brauche ich ja einige Ableitungen. Wenn ich jetzt eine Funktion, z.B. f(x)=(1+x)^1/2 [Wurzel aus (1+x)]
habe, wie leite ich dann ab?? Ich benötige die ersten 4 Ableitungen, aber irgendwie kriege ich das nicht ganz hin.
Könntet ihr mir vielleicht erklären/eine Regel nennen, wie ich bei solchen Wurzelfunktionen vorgehe?
Vielen Dank im vorraus
MFG Seppel |
Lars (thawk)
Mitglied
Benutzername: thawk
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 17:42: |
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Hi Seppel.
Bei diesem Typ musst du die Kettenregel anwenden:
Die Funktion unterteilst du in äußere und innere Funktion. Die Ableitung setzt sich dann so zusammen:
1.) Ableitung der äußeren Funktion mit der inneren Funktion als Argument
-multipliziert mit-
2.) Ableitung der inneren Funktion.
In deinem Beispiel (1+x)1/2 ist die äußere Funktion g(x) = x1/2 und die innere Funktion h(x) = 1+x [du setzt die innere Funktion für x in die äußere Funktion ein und bekommst die Ursprungs-Funktion]
Dann lautet die Ableitung:
f'(x) = (1/2) * (1+x)-1/2 * 1
f'(x) = 1 / (2 * (1+x)1/2)
Da die Ableitung der inneren Funktion 1 ist, fällt sie hier nicht ins Gewicht.
Die weiteren Ableitung gehen nach gleichem Schema weiter, evtl. mit der Verschachtelung von Kettenregeln.
Machs gut, Lars |
Max Mustermann (seppel)
Neues Mitglied
Benutzername: seppel
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. April, 2002 - 10:54: |
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Hey Lars, vielen lieben Dank für Deine Mühe...
habe jetzt nochmal eine kleine Frage dazu:
Wie würde ich denn eine Wurzelfunktion aufleiten?
S(1+x)^1/2 (S=Integral)
Muß ich beim aufleiten auch noch die innere Aufleitung bilden?
Bsp.: Ich muß für eine Aufgabe für die Flkächeninhaltsberechnung das Integral von der Funktion: f(x)=(100 + (11x²/225))^1/2
Wie sähe denn hier zu die Aufleitung aus?
Viele liebe Grüße, seppel |
Lars (thawk)
Mitglied
Benutzername: thawk
Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. April, 2002 - 15:18: |
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Hi Max.
Hier musst du die Substitutionsregeln anwenden (praktisch Kettenregel andersrum).
Die erste lautet:
ò f(g(x)) * g'(x) dx = ò f(t)dt
In deinem Beispiel ist die innere Funktion g(x) = 1+x. Da hiervon die Ableitung 1 ist, ergibt sich kein Problem mehr und du kannst direkt sagen:
ò (1+x)0,5 dx = ò z0,5dz [z = 1+x]
Das leitest du nach bekannter Regel auf:
... = (1/1,5) * z1,5 + c [Stammfunktion vom unbestimmten Integral]
= (2/3) * z * z1/2 + c
Dann substituierst du zurück:
= (2/3) * (1+x) * (1+x)1/2 + c
Wenn die Ableitung der inneren Funktion nicht 1 ist musst du den Wert vor dem Substituieren in das Integral holen. Beispiel: Innere Funktion = 2x; Ableitung = 2. Die hast du aber nicht im Integral. Dann nimmst du den Term hinterm Integralzeichen mit 2 mal und setzt vor das gesamte Integral ein 1/2. Damit bleibts äquivalent und obige Formel ist anwendbar.
Dein spezielles Beispiel hat eine etwas komplizierte Aufleitung, nämlich
750·SQRT(11)·LN(SQRT(11·x^2 + 22500) + SQRT(11)·x)/11 + x·SQRT(11·x^2 + 22500)/30
Das sagt zumindest der Computer. Ich würde beim ausrechnen zuerst mal unter der Wurzel alles auf einen bruchstrich schreiben um dann SQRT(1/225) aus dem Integral zu ziehen. Dann besteht allerdings das Problem, dass deine innere Funktion (22500 + 11x2) quadratisch ist und damit die Ableitung ein x enthält, was in deiner Gleichung so nicht vorkommt. Damit müsstest du die zweite Form der Substitutionsregel anwenden.
Bevor ich das jetzt hier erkläre - bist du dir sicher, dass du die Funktion richtig abgeschrieben hast?
Meld dich am besten noch mal.
Ciao, Lars |
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