| Autor |
Beitrag |
    
Heiko
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 23:31: | 
|
wie mache ich eine partialbruchzerlegung bei folgender aufgabe:
(3x^2+3)/(x^3-1) ?!?
Danke schon mal :-)
Heiko |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 01:51: |
|
Hi Heiko
Fuer eine Partialbruchzerlegung musst Du als erstes den Nenner faktorisieren:
x³-1=(x-1)(x²+x+1)
Der zweite Faktor hat keine reellen Nullstellen, daher ist der Ansatz:
(3x²+3)/(x³-1)=a/(x-1)+(bx+c)/(x²+x+1)
mit den Variablen a,b,c.
Nach Multiplizieren mit dem Hauptnenner kommt man auf:
3x²+3=a(x²+x+1)+(bx+c)(x-1)
Jetzt gibt es 2 Moeglichkeiten: Allgemein kann man nach den Potenzen Ordnen, und bekommt ein lineares Gleichungssystem; Man kann aber auch fuer x eine der Nullstellen einsetzen, was ich fuer die Nullstelle x=1 machen werde, fuer die komplexen aber nicht, da sie zu kompliziert werden.
Also fuer x=1 folgt:
6=3a <=> a=2
Das koennen wir schon mal in die Gleichung einsetzen:
3x²+3=2x²+2x+2+(bx+c)(x-1)
Jetzt schmeisse ich alles ohne b oder c nach links, und sortiere die rechte Seite nach den Potenzen:
x²-2x+1=bx²-bx+cx-c=bx²+(c-b)x-c
Offensichtlich muss c=-1 und b=1 gelten, also ist folglich die Partialbruchzerlegung:
(3x²+3)/(x³+1)=2/(x-1)+(x-1)/(x²+x+1)
Wenn Du Probleme beim endgueltigen Integrieren hast, sag bescheid.
viele Gruesse
SpockGeiger
PS: Grosses Lob, dass Du geklammert hast; machen nicht viele, und das artet dann zu einem Rumgerate aus  |
Heiko
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 17:20: |
|
Hi !
Danke schön....
Hast mir sehr geholfen.
Mit dem Integrieren hab ich zwar noch so meine Probleme. Vor allem der letzte Teil (x-1)/(x²+x+1). Da gibt es irgendeine Regel für.
Mal schaun..... |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 19:53: |
|
Hi Heiko
Ich gebe Dir ein paar Tips:
(x-1)/(x²+x+1) solltest Du als x/(x²+x+1)-1/(x²+x+1) schreiben, und nun substituieren, (versuch mal aus der binomischen Formel abzulesen, was es sein muss) um folgendes anwenden zukoennen:
int(x/(x²+1))=ln(x²+1)/2
int(1/(x²+1))=arctan(x)
viele Gruesse
SpockGeiger |
|
