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Beitrag |
    
Alex
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 07:19: | 
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Hy alle zusammen, ich brauch mal ein bissel hilfe  .
Aufgabe: Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat den Tiefpunkt in O(0/0) und geht durch den Punkt P(1/0). Die Tangente im Hochpunkt hat die Gleichung y=1.
Bestimmen sie f(x).
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Ein bissel was habe ich schon gefunden.
f(x) =ax³+bx²+cx+d
f'(x) =3ax²+2bx+c
f (1)=0 a+b+c+d=0
f (0)=0 d=0
f'(0)=0 2b+c =0
... jetzt fehlt mir noch die vierte Bedinngung (help)
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A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 09:12: |
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Hallo Alex
f(x) =ax³+bx²+cx+d
f'(x) =3ax²+2bx+c
f(1)=0 <=> a+b+c+d=0
f(0)=0 <=> d=0
f'(0)=0 <=> c=0 (hier hatte sich ein kleiner Fehler eingeschlichen)
Fassen wir mal bis hier zusammen; also
c=d=0
a+b+c+d=0
=> a+b=0 <=> b=-a
Dann gilt für die gesuchte Funktionsgleichung:
f(x)=ax³-ax²
f'(x)=3ax²-2ax=0
<=> ax(3x-2)=0
<=> x=0 oder 3x-2=0
=> x=0 oder x=2/3
Da für x=0 ein Tiefpunkt vorliegt, kann der Hochpunkt nur bei x=2/3 sein.
Die Tangente im Hochpunkt ist y=1.
Damit hat der Hochpunkt die Koordinaten H((2/3)|1)
und es gilt
f(2/3)=1 <=> a*(2/3)³-a(2/3)²=1
<=> (8/27)a-(4/9)a=1 |*27
<=> 8a-12a=27
<=> -4a=27
<=> a=-27/4
=> mit b=-a nun b=27/4
Die Funktionsgleichung lautet also
f(x)=-(27/4)x³+(27/4)x²
Mfg K.
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Alex
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 10:12: |
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vielen Dank
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