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Leni
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 20:10: | 
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Wer kann mir die lineare Unabhängigkeit/Abhängigkeit am Beispiel von 4 Vektoren erklären?
Auserdem: Wie lößt man die Gleichungen nach dem Gauß-Verfahren? --> Bitte mit ausführlicher Erklärung!!!
Ewäre schön, wenn ihr mir helfen könntet, ich verzweifle bald an den Aufgaben!
DANKE schon mal im voraus,
Leni |
Carsten
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 23:59: |
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Hi Leni!
Mit dem Gaußverfahren kann ich Dir weiterhelfen.
Betrachte einfach mal folgende Matrix:
x1 x2 x3 k
1 -4 2 | -9
4 2 -2 | -2
-3 1 0 | 6
Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, dieses Gleichungssystem zu lösen.
Die eine Variante dürfte Dir bereits bekannt sein. Es handelt sich um
eine Gleichung mit drei Unbekannten:
1x1 -4x2 +2x3 = -9
4x1 +2x2 -2x3 = -2
-3x1 +1x2 +0x3 = 6
Nach dem Gaußverfahren ist das System jedoch folgendermaßen zu lösen:
Du versuchst, aus dem gegebenen Gleichungssystem eine Matrix der Form:
1 0 0 | k1
0 1 0 | k2
0 0 1 | k3
zu erstellen. Dies geschieht folgendermaßen. Du versuchst einfach durch geschickte
Multiplikation und Addition „Nullen“ zu erzeugen. Nehmen wir mal nur I.+II. Zeile an:
I. 1 -4 2 | -9 *(-4) + II 1*X+4=0 => X= -4
II. 4 2 -2 | -2
Die Zeile, die Du multiplizierst, schreibst Du einfach im nächsten Schritt erneut hin.
Gedanklich multiplizierst aber 1*(-4) aus der I. Zeile, I.Spalte. und addierst 4 aus der
II.Zeile, I.Spalte hinzu. Also 1*(-4)+4=0 und schreibst eine 0 in II.Zeile , I.Spalte
Genauso bei den anderen Elementen: -4*(-4)+2=18; 2*(-4)-2= -10; -9*(-4)-2=34
I. 1 -4 2 | -9
II. 0 18 -10 | -34
Wir haben also schon „zwei“ Schritte gemacht. I.Zeile, I.Spalte steht eine 1, II. Zeile, I. Spalte eine 0.
Nach diesem Schema fährst du fort. Du muß nur darauf achten, daß Du die Zeile, die Du mit einer entsprechenden Zahl multiplizierst nicht verändert wird. Du schreibst sie so wieder hin und führst
gedanklich (oder vielleicht besser mit Taschenrechner) die Mulitplikation/Addition durch, woraus
sich die neue Zeile ergibt. Meistens mußt Du hierbei auch mit Brüchen und den Kehrwerten arbeiten.
Am besten ist das Schema (siehe oben) 1*X+4=0, dann ist X= -4.
1 -4 2 | -9 *(-4) + II *3 + III
0 18 -10 | 34
0 -11 6 | -21
1 -1/3 0 | -2
0 -1/3 0 | -1
0 -11 6 | -21 *(-1/3) + I *5/3 + II
1 0 0 | -1
0 -1/3 0 | -1 *(-1) + I *(-33)+ III
0 0 6 | 12
1 0 0 | -1
0 1 0 | 3 *(-3)
0 0 1 | 2 *(1/6)
Als Ergebnis erhälst Du: x1= -1, x2= 3, x3= 2, indem Du einfach abliest.
Oder anders:
1x1 0x2 0x3 = -1
0x1 1x2 0x3 = 3
0x1 0x2 1x3 = 2
Ich hoffe, das Dir die Erklärung weiterhilft. Muß man ein wenig üben, dann hat man es drauf.
Viel Spaß beim knobeln.
Viele Grüße
Carsten |
Leni
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 20:24: |
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Danke für deine Hilfe Carsten.
Bis zur zweiten Zeile mit Nullen verwandeln komme ich aber wie du auf die 1/3 kommst verstehe ich nicht ( Trotz mehrmaligem knobeln und rätseln !!!)
Wäre schön, wenn du mir das noch mal erklären könntest!
Wieder mal DANKE im voraus, Leni |
Carsten
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 21:02: |
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Hi Leni!
Finde ich gut, daß du nicht so schnell aufgibst! Da ich nicht genau weiß, welche 1/3
Du meinst, fange ich nocheinmal mit der 2. Darstellung an:
Matrix1
1 -4 2 | -9
0 18 -10 | 34
0 -11 6 | -21
Ich geh mal davon aus, da hier keine 1/3 drin sind, daß Du das hinbekommen hast!
Im nächsten Schritt, haben wir zwei Dinge zu tun, (siehe vorherige Erklärung). Wir wollen
In der I. Zeile, III. Spalte eine 0 hinbekommen und auch in der II. Zeile, III. Spalte.
Also schauen wir, wie das am günstigsten geht. Da wir in der I. und II. Zeile verändern, müssen
wir die dritte Zeile beibehalten (hier multiplizieren wir geschickt rein und addieren anschließend).
Wir schreiben die dritte Zeile also einfach wieder hin:
Matrix2
I. 0
II.
III. 0 -11 6 | -21
Betrachten wir nun die erste Zeile. Wir wollen in die 3. Spalte eine 0 bekommen.
Also: III. Zeile, III. Spalte ist 6 I.Zeile, III.Spalte soll eine 0 entstehen
Eine Matrix darüber (Matrix1) steht, da wo die 0 entstehen soll, eine 2
Also in der II. Matrix schauen: 6*x+2=0
Also: (Matrix2, III. Zeile, III.Spalte) * x + (Matrix1, I. Zeile, III.Spalte) = 0
6 * x + 2 =0
=> nach x auflösen
6*x= -2
x= -2/6
x= -1/3
Das heißt, die ganze III.Zeile der Matrix2 mit –1/3 gedanklich multiplizieren und zur I. Zeile
der Matrix1 addieren und die neue I.Zeile der Matrix2 hinschreiben.
1 -1/3 0 | -2
0 -11 6 | -21
Schrittweise:
Nach Elementen der Spalten:
0*-1/3+1=1 => also 1 in die neue I.Zeile, I. Spalte schreiben
-11*-1/3-4= -1/3 => also –1/3 in die neue I.Zeile, II. Spalte schreiben
6*-1/3+2=0 => also 0 in die neue I.Zeile, III. Spalte schreiben
-21*-1/3-9=-2 => also -2 in die neue I.Zeile, k. Spalte schreiben
Versuchs jetzt nocheinmal mit der zu erstellendern II. Zeile. (kleiner Tip: wieder gedanklich
III. Zeile mit 5/3 multiplizieren und zu den elementen der Matrix1, II.Zeile addieren.
Der weitere Lösungsweg steht ja weiter oben.
Weiterhin Viel Spaß beim Knobeln!
Carsten
P.S.: Wenn Du es nicht hinbekommst, schreib nochmal! |
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