    
Josef Filipiak (filipiak)
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Benutzername: filipiak
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 15:02: | 
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Hallo Sarah, Zahlen, die nach einem bestimten Gesetz aufeinander folgen, bilden eine Zahlenfolge. Die einzelnen Zahlen nennt man Glieder. Werden die Glieder einer Zahlenfolge addiert, so bilden sie eine Zahlenreihe. Eine Folge oder Reihe von Zahlen heißt arithmetisch, wenn die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich groß ist. Bei einer aufsteigenden Folge ist die Differenz d positiv. Bei einer abfallenden Folge ist die Differenz negativ.
Beispiele:
1;2;3;4;5;6 = Zahlenfolge
1+2+3+4+5+6 = Reihe
2;5;8;11;14 = d = 3; denn 5-2=3; 11-8=3; 14-11=3
3;5;7;9;11;13 = d = 2 (positiv)
13;9;5;1;-3;-7; = d = -4 (negativ)
a = Anfangsglied
d = Differenz
z = n-tes Glied (letztes Glied)
n = Anzahl der Glieder
s = Summe derarithemtischen Reihe; alle Glieder der Reihe wurden addiert.
Formeln:
z = a +(n-1)*d
s = n/2(a+z) = n/2[2a+(n-1)*d]
Beispiele zur Berechnung:
Das Anfangsglied einer Reihe ist 7, die Anzahl der Glieder 6, die Differenz 3. Wie groß ist das letzte Glied und die Summe aller Glieder?
a=7; n=6; d=3; z=? s=?
z=a+(n-1)*d = 7 + (6-1)*3 = 7+15= 22
Das letzte Glied ist 22.
s= n/2*(a+z)=(6/2)*(7+22)= 87
Die Summe aller Glieder ist 87.
Beispiel 2: 87; 76; ...-1; -12
Von der gegebenen Folge kennt man das Anfangsglied (87), das Endglied (-12) und die Differenz. (76-87=-11)
n=?; s=?
z=a+(n-1)*d
-12=87+(n-1)*-11
n=10
s=n/2(a+z)= 10/2(87-12) = 5(75)=375
Beispiel 3:
Zwischen den Zahlen 5 und-3 sind 3 Glieder einzuschalten, so daß eine arithmetische Folge entsteht.
Von der Folge kennt man das Anfangsglied (5),das Endglied (-3) und die Anzahl der Glieder (5), Man kann d berechnen und dann die Folge bilden.
5 ....-3
z=a+(n-1)*d
-3=5+(5-1)*d
d= -8/4 = -2
5,3,1,-1-3
Eine Folge oder Reihe von Zahlen heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich groß ist. Wechseln die Glieder das Vorzeichen, so ist der Quotient negativ.
1;2;4;8;16 = q = 2, denn 2/1=2, 8/4=2, 16/8=2
2;-6;+18;-54 = q = -3, denn -6/2=-3 +18/-6=-3
a= Anfangsglied
q= Quotient
n= Anzahl der Glieder
z= n-tes Glied (letztes Glied)
s= Summe der geometrischen Reihe von n Gliedern
Formeln:
z = a*qn-1
s = a*(qn-1)/(q-1) = a*(1-qn)/(1-q)
Beispiel:
Von der gegebenen Folge kenn man das Anfangsglied a = 27, das Endglied z=1/81 und die Anzahl der Glieder n=8
27;9;3;1;1/3;1/9;1/27;1/81
s=?
q=?
q=9/27 = 1/3
s= a*(1-qn)/(1-q) = 27*[1-(1/3)8]/[1-(1/3)]
s=27*1,5 = 40,5
Beispiel 2: a=3, q=2, wie heißt das 6. Glied?
Von einer geometrieschen Reihe kennt man das Anfangsglie (3) und den Quotienten (2); das 6. Glied ist dann 96.
z=aqn-1 = 3*25=3*32=96
Beispiel 3: Zwischen 3 und 3/64 sollen 5 Glieder so eingeschaltet werden, daß eine geometrische Folge entsteht.
Man kennt von der Folge das Anfangsglied (3), das Endglied (3/64) und die Anzahl der Glieder (5+2=7). Der Quotient q ist 1/2.
z=aqn-1 = 3/64=3*q6
q6=1/64
q=6Ö(1/64) = 1/2
Die 7 Glieder der Folge sind dann 3;1 1/2; 3/4; 3/8; 3/16; 3/32; 3/64.
Beispiel 4:
2; 10; ... 6250 n=?
Man kennt von dieser Folge a=2, z=6250 und q=10/2=5
Da das unbekannte Glied im Exponenten steht, kann man die Gleichung nur durch Logarithmieren lösen (Exponentialbgleichung).
z=aqn-1
6250=2*5n-1
(n-1)*lg 5= lg 6250-lg 2
n-1 = (3,7959-0,3010)/0,6990 = 5
n = 6
Gruß Filipiak
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