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ABC
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. April, 2002 - 14:42: | 
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Eine Parabel y=x*x (also x zum Quadrat) (von 0<=x<=3) rotiert um die y-Achse. Das entstehende Gefäß ist bis oben mit Wasser gefüllt. Unten befindet sich ein kreisförmiges Loch mit dem Radius r=0,2. Das Wasser fließt anfangs schnell und dann langsamer aus. Man soll eine Differentialgleichung für die Wasserhöhe in Abhängigkeit von der Ausfließzeit aufstellen. Und diese dann lösen. Mein Problem ist die Form des Gefäßes, und die Bestimmung der Höhe zu einem best. Zeitpunkt. Wie löse ich diese Aufgabe. Für Ideen oda nen Tip wär ich sehr dankbar. |
Juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 10:20: |
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Hallo,
es wundert mich nicht, daß Du Probleme mit der Aufgabe hast. Alleine mit mathematischer Genialität lässt sie sich nicht lösen, man braucht etwas Physik dazu:
Der Volumenfluß (das ist das Volumen, was pro Zeiteinheit durch das Loch strömt) VF durch ein Loch mit Querschnittsfläche A ist
VF = A*Wurzel(p/Rho)
wobei Rho die Dichte der Flüssigkeit ist und p der Druck, der die Strömung verursacht. Dieser Druck ist in dem Fall hier der hydrostatische, also
p = Rho*g*y,
g ist die Erdbeschleunigung und y ist die momentane Flüssigkeitshöhe im Gefäß.
Damit ist der Volumenfluß
VF = A*Wurzel(g*y)
Soviel zur Physik.
Betrachte jetzt zu einem beliebigen Zeitpunkt eine Kreisscheibe mit infinitesimaler Höhe dy und Radius x(y) Deiner Flüssigkeit im parabolischen Gefäß, x(y) = Wurzel(y). Das in ihr enthaltene infinitesimale Flüssigkeitsvolumen dV ist
dV = Pi*x^2*dy,
bzw. wegen y = x^2
dV = Pi*y*dy
Ändert sich also in der Zeit dt die Flüssigkeitshöhe um dy, dann folgt aufgrund der Bedingung (der Volumenfluss ist die negative Ableitung des Volumens nach der Zeit)
dV = -VF*dt
Pi*y*dy = -A*Wurzel(g*y)*dt (*)
Dies ist die gesuchte Differentialgleichung für die zeitabhängige Flüssigkeitshöhe y(t),
Pi*y*(dy/dt) + A*Wurzel(g*y) = 0
Man löst die Gl. (*) durch Integration beider Seiten, die Integrale lassen sich geschlossen lösen, kriegst Du das hin? Wenn nicht melde Dich nochmal.
J.
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Alfred
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 16:42: |
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Hallo ABC und Jürgen,
Tipp: stellt doch mal diese Aufgabe ins physik4u-Forum.
http://www.physik4u.de/
Vielleicht freuen sich da einige über dieses Beispiel und den Lösungsweg.
Noch interessanter wird es, wenn man das Parabelglas rotieren lässt!
Gruß Alfred
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Juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 20:57: |
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Hey, Alfred,
ich bin Dir dankbar für Deinen Hinweis,
Physiker und Mathematiker, die unendliche Geschichte.
Mein (unwichtiger) Rat: trenne niemals Physik und Mathe! Beide sind untrennbar miteinander verbunden, Zitat meines Mathe-Professors (vor unendlich langer Zeit): "Ich wünschte. ich könnte den Physikern die Mathematik zur Verfügung stellen, die sie benötigen"
Aber zurück zu Deinem (interessanten) Problem: spezifiziere bitte rotierendes Parabelglas!
Hey bleib auf dieser Web-Seite
Deine Beiträge sind gefragt!
DER unregistrierte Gast
Juergen |
f
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 21:55: |
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Vielleicht noch eine Randbemerkung: Volumenstrom nicht VF = A*Wurzel(p/Rho), sondern A * sqr(2 p / rho); physikalisch identisch dem TORRICELLI Gesetz v = sqr (2 g h) ( ~ BERNOULLI Gleichung; dV / dt = v A). Vermutlich Tippfehler in der Fragestellung.
Zweitens müßte y = x^2 leicht verändert werden wg Einheiten. Ansonsten sind die Lösungen ziemlich die gleichen.
Die (starke) Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeit von der Öffnungsform und andere Komplikationen beiseite. |
f
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 22:02: |
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PS: Die Strömung aus der rotierenden Flüssigkeit würde mich ebenfalls interessieren! Gruß F. |
ABC
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. April, 2002 - 17:00: |
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Es gibt immer noch ein Problem. Und zwar die Einheiten. F ich kann doch nicht einfach die Funktion x^2 ändern. Wie bekomm ich die Einheiten hin??? Pi*y*dy = -A*Wurzel(2*g*y)*dt also: Pi*Wurzel(y)*dy = -A*Wurzel(g)*dt
wird ja integriert, aba der Fehler mit den Einheiten muss schon davor entstehen oda???
Es kommen nämlich nicht Meter raus.
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f
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 00:05: |
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Vorschlag: physik4U |
Juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 09:56: |
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Nein, das überlassen wir nicht den Physikern, jeder Mathematiker sollte auch Physiker sein oder umgekehrt. Dein Einheitenproblem ist kein Fehler und liegt nicht an den physikalischen Formeln, sondern an der laschen mathematischen Definition der Aufgabe. Sie hätte richtig lauten müssen:
f(x) = a*x^2, mit a = 1 [1/m] (m ist die LE Meter). Wird x in Meter gemessen, ist auch y in Meter. Den Faktor a musst Du, wenn Du x^2 durch y ersetzt mitschleppen, er stellt Dir dann im Endergebnis die richtigen Einheiten sicher. Ähnliche Probleme bekommt man übrigens, wenn man Volumen von Rotationskörpern mittels Integral über die einhüllende Funktion berechnet.
Noch ein Hinweis: Bei meiner Lösung ist in der Gl. für den Volumenfluss der Faktor 2 unter der Wurzel verschluckt worden, das hat F richtig erkannt, sorry
Gruss
Juergen |
f
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 18:41: |
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Hallo Jürgen!
Die Beachtung der Einheiten (alles umwandeln in Basiseinheiten und Mitführung in der Rechnung) hat erfahrungsgemäß auch einen pragmatischen Nutzen: Die Kontrolle der Einheit des Ergebnisses ist gewissermaßen die letzte Sicherung gegen Fehler in der Berechnung.
Das Verhältnis dieser Wissenschaften stellt sich in meiner sehr bescheidenen Sicht etwas anders dar. Überspitzt gesagt: Mathematische Methoden sind Handwerkzeug in der Physik; deren Nutzung von Vorteil ist. Ansonsten gehen naturwissenschaftliche / technische / empirische Dinge ein, die Wahl von Modellen; grobe Abschätzungen - was mit Mathematik wenig zu tun hat.
Gruß, F. |
juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 18:31: |
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Hey f, schön zu lesen, dass es Dich noch gibt. Du und Alfred macht Euch rar...
Interessante Ansichten, die ich nicht uneingeschränkt teilen kann
Ich stelle fest:
1.) Wir haben die Aufgabe nach mathematischen und physikalischen Kriterien entsprechend richtig gelöst
2.) Du scheinst noch zu schwanken zwischen Mathe und Physik, tu das nicht, da ist kein Unterschied
3.) Wenn Du weiter diskutieren/philosophieren willst triffst Du mich unter
juergen_yo@freenet.de
Hab ein tolles Wochenende
J. |
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