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Helena
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 18:34: | 
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geg: Eine Gerade g: 3x1+5x2-4=0
Es soll eine Drehung um alpha=60° und eine Streckung um k=2 durchgeführt werden. Das Streckzentrum ist Z=0. Das alles im R2. Gesucht ist die bildgerade g´.
Es soll gezeigt werden das der winkel zwischen g und g´ 60° beträgt.
danke schon im vorraus! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 19:44: |
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Hi Helena,
Endlich kümmert sich jemand um Deine Aufgabe bezüglich
Drehstreckung !
Bezeichnungen: Originalpunkt P(x/y), aus ihm wird der gedrehte
Punkt P ' (x ' / y' ), aus diesem der gestreckte Punkt P ''( x''/ y'' )
Die Drehformel lautet "bekanntlich":
x' = x * cos (alpha) - y * sin(alpha)
y' = x * sin (alpha) + y * cos(alpha)
für alpha = 60 ° kommt:
x' = 1 / 2 * [ x - wurzel(3) * y ]
y' = 1 / 2 * [ wurzel(3) * x + y ]
Wir lösen nach x und y auf :
x = 1 / 2 * [ x ' + wurzel(3) * y ' ]
y = 1 / 2 * [ - wurzel(3) * x ' + y' ]
Wir setzen diese Werte für x und y in die Geradengleichung g ein
und erhalten die Gleichung der gedrehten Gerade g ' ,
3* 1 / 2 * [x ' + wurzel(3)* y'] + 5* 1 / 2 * [- wurzel(3) * x ' + y '] - 4 = 0
geordnet:
1 / 2 * [ -5* wurzel(3) + 3 ] * x' + 1 / 2 * [3*wurzel(3) + 5 ]* y' - 4 = 0
vereinfacht:
A * x' + B * y' - 8 = 0 , wobei gilt:
A = - 5 * wurzel (3) + 3 ~ -5.660
B = 3 * wurzel (3) + 5 ~ 10.196
Mit Hilfe der Streckungsformeln
x ' = 1 / 2 * x '' , y ' = 1 / 2 * y ''
erhalten wir die durch Drehstreckung entstandene Gerade g '':,
deren Gleichung lautet
A * x '' + B * y '' - 16 = 0
Den Schnittwinkel phi der Geraden g und g" erhalten wir aus den Steigungen
mg und mg'' der Geraden mit Hilfe der Formel:
tan(phi) = ( mg ''- mg ) / ( 1 + mg * mg'' )
Wir erhalten der Reihe nach:
mg = - 3 / 5 = - 0.6
mg'' = - A / B ~ 0.555
tan(phi) = wurzel (3) , also phi = 60° , q.e.d.
mit freundlichen Grüssen
H.R,Moser,megamath. |
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