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Beitrag |
    
Cassie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 20:52: | 
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Hallo Leute!
Ich soll in Mathe ein Referat über die NÄHERUNGSWEISE BERECHNUNG DER NULLSTELLEN schreiben. Leider bin ich die total Niete in Mathe, und ich verstehe nur Bahnhof! Ich bin schon echt verzweifelt!
Vielleicht hat jemand von euch schonmal ein Referat über dieses Thema geschrieben??? Oder hat jemand Ahnung von diesem Thema und kann mir ein paar Tipps geben, wie ich das ganze anfangen soll?!?!
--> Gegeben ist die Funktion f(x)=x^3+1/4x^2-o,5.
a) Die Punkte P1 (0,6/-0,194) und P2(0,8/0,172) liegen auf dem Graphen von f. Wie kann man mithilfe der angegebenen Koordinaten einen näherungswert für die Nullstelle von f ermitteln?
b) Welche andere Möglichkeit sehen Sie, einen Näherungswert für die Nullstelle der Funktion f zu bestimmen? --> Text aus meinem Mathebuch "Analysis Grundkurs Gesamtband" von Klett.
Der Text geht noch weiter, wenn jemand den ganzen Text also lesen möchte, schicke ich ihn gerne hin!
Was ist das NEWTON-VERFAHREN???
Wer kann mir in dieser Sache helfen? Das wäre echt super wichtig!!!
Danke schonmal für die Hilfe!!! Liebe Grüße ... Cassie |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 12:08: |
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Hi Cassie
Zunächst einmal zu a)
Wenn du 2Punkte gegeben hast und beim einen der y-Wert negativ und beim anderen positiv ist und die Funktion in diesem Intervall stetig, dann liegt dort mindestens eine Nullstelle. Um diese genauer zu bestimmen kannst du jetzt die Intervallschachtelung(Bisektionsverfahren) anwenden. Das sieht folgendermaßen aus:
Du addierst die beiden x-Werte und teilst sie durch 2 und erhälst einen neuen x-Wert, bei dir x=0,7. Der neue y-Wert dazu ist -0.0345. Jetzt schaust du dir wieder an ob bei den y-Werten die Vorzeichen wechseln, hier sind die Vorzeichen bei 0,7 und 0,8 verschieden, also nimmst du diese beiden Werte und teilst wieder durch 2 und erhälst x=0,75 als neuen Wert. -> y=0,0625. Wieder Vozeichen der y-Werte vergleichen-> NS liegt zwischen x=0,7 und x=0,75. usw.
Du näherst dich damit immer mehr de richtigen Lösung an. Diese ist laut Maple 0.7185101577...
Jetzt zum Newton-Verfahren.
Dieses führt meist wesentlich schneller zum Ziel, als das obige Verfahren.
Die Funktion muss im angegebenen Intervall stetig und differenzierbar sein. Dies ist bei deiner Funktion der Fall und es liegt wie oben schon gesagt ein Vorzeichenwechsel bei den y-Werten vor.
Wir nehmen jetzt mal Punkt2. Beim Newton-Verfahren wird jetzt bei x=0,8 eine Tangente an den Graphen gelegt und der Schnittpunkt von dieser mit der x-Achse berechnet. Das ist dann der neue x-Wert. Dann wird an dieser Stelle eine Tangente angelegt und wieder der Schnittpunkt mit der x-Achse berechnet usw.
Wir machen das jetzt erstmal allgemein weiter und suchen eine Iterationsvorschrift, d.h. eine Vorschrift die von einem bekannten x-Wert zum nächsten führt.
Wir bestimmen die Gleichung der Tangente im Punkt Pn(xn|f(xn)) mit der Punkt-Steigungs-Form. Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion:
y-f(xn)=f'(xn)*(x-xn)
y=f'(xn)*(x-xn)+f(xn)
Jetzt bestimmen wir den Schnittpunkt mit der x-Achse:
0=f'(xn)*(x-xn)+f(xn)
x=xn-f(xn)/f'(xn)
Das ist jetzt unser neuer x-Wert, also gilt(Iterationsvorschrift):
x(n+1)=xn-f(xn)/f'(xn)
Jetzt schauen wir uns mal an, zu welchem Ergebnis das bei deiner Funktion führt mit x1=0,8.
x2=0,8-f(0,8)/f'(0,8)=0.7258620690
x3=0.7185774647
x4=0.7185101634
x5=0.7185101577
Wie du siehst ist das Ergebnis schon beim 5.Näherungswert auf mind. 9Stellen hinterm Komma genau.
Ich hoffe mal das hilft dir weiter.
MfG
C. Schmidt |
Cassie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. April, 2002 - 13:35: |
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Hi Christian!
Danke für deine Hilfe, ich muss mir das alles mal in Ruhe durchlesen, damit ich sehe, ob ich es auch verstehe. Falls ich noch Fragen habe, kann ich mich dann nochmal melden?!?! ... DANKE DANKE DANKE!!!
Liebe Grüße!!!
Cassie |
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