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Sani
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 13:12: | 
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Also, ich bins mal wieder. Habe hier ein paar konkrete Aufgaben, wo ich so keinen Ansatz finde sie zu lösen. Wenn ihr sie nicht durchrechnen wollt, wär ich euch also schon wahnsinnig dankbar, wenn ihr mir erklären würdet, wie ich zur Lösung käme!!!
Also, gegeben ist folgende Funtionenschar Kt:
1/2*(x+3)*e^(-t*x)
Es soll nun zwei Punkte geben, durch die alle Schaubilder Kt verlaufen. Wie lauten ihre Koordinaten? Für welchen Wert von t verläuft die Normale im Schnittpunkt von Kt mit der y-Achse durch den Schnittpunkt von Kt mit der x-Achse?
Weiterhin ist folgende Funktion g gegeben:
g(x)= 1/2*x*e^(-x)
Zu zeigen ist nun, dass für alle x gilt f1(x)> g(x)
Vielen vielen Dank im voraus für eure Hilfe! |
Fu
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 15:10: |
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Also bei
1/2*(x+3)*e^(-t*x)
gehen die FUnktionene durch jenen gemeinsamen Punkt, der von t unabhängig ist.Wenn du also für beliebige t den gleichen x und y wert rausbekommst.
Das ist zum einen der Fall für x=0, da x*-t =0
also P1(0,1,5)
Der zweite Punkt liegt bei x=-3, da auh hier f(x) von t unabhängig ist:
also P2(-3,0)
Jetzt zur Normalen im Schnittpunkt:
Zuerst brauchen wir die steigung durch ableiten:
f'(x)=o,5*e^(-tx)(1-t(x+3)) ist die STeigung m der tangente. -m also die STeigung der normalen.
-m=-f'(x) da setzen wir den festen Schnittppunkt der y achse ein (0;1,5)
das gibt m(steigung der normalen)=-0,5(1-3t)
N: y=-0,5(1-3t)x+1,5 normlanegleichung
den Schnittpunkt mit der x-achse eingesetzt:
(-3,0) ergibt t=2/3!!!
Jetzt noch f1(x)>g(x)
0,5(x+3)e^(-x)>o,5x*e(-x) :e^-x
0,5x +1,5 >o,5x
1,5>0 was zu zeigen war
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Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 15:16: |
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Hi Sani
Punkt 1 ist P(-3|0), denn dort wird x-3, also auch der gesamte Term, unabhängig von t 0.
Zweiter Punkt ist P(0|3/2). Für x=0 spielt das t wieder keine Rolle.
Die Normale muss jetzt durch genau die beiden Punkte gehen, die wir gerade berechnet haben. Wir erstellen jetzt die Geradengleichung:
y=mx+b
b ist 3/2.
y=mx+3/2
0=-3m+3/2
m=1/2
-> y=1/2x+3/2
Die Gerade muss in P(0|3/2) orthogonal zur Tangente an die Funktion verlaufen, d.h. m*mf=-1.
1/2*mf=-1
mf=-2
Die Funktion muss bei x=0 die Steigung -2 haben, das machen wir jetzt mit der Ableitung:
Kt'(x)=1/2*e^(-tx)+1/2*(x+3)*(-t)e^(-tx)
-2=1/2+1/2*3*(-t)
-5=-3t
t=5/3
K1(x)>g(x):
1/2*(x+3)*e^(-x)>1/2*x*e^(-x)
(x+3)e^(-x)>x*e^(-x)
x+3>x
3>0
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 15:19: |
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Da war jemand schneller als ich;)
Aber irgendwie haben wir verschiedene Ergebnisse raus, muss ich gleich nochmal prüfen.
MfG
C. Schmidt |
Fu
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 15:25: |
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0,5x +1,5 >o,5x
1,5>0 was zu zeigen war
x+3>x
3>0 <-- da stimmt deine hab vergessen 0,5 zu kürzen |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 107
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 15:25: |
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Die Bedingung, dass zwei Geraden zueinander orthogonal sind ist, dass die Steigungen miteinander multipliziert -1 ergeben. Also ist die Steigung der Normalen -1/m.
MfG
C.Schmidt |
Fu
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 15:39: |
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Jup hast recht, mein Fehler. |
Sani
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 18:38: |
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Vielen Dankk euch beiden! Soweit nachvollziehbar. Wenn es euch nicht allzu sehr stört könnt mir gerne noch weiter helfen. Es ist nämlich so, die Aufgabe geht noch weiter...
Also:
Die y-Achse, K1 und das Schaubild von g begrenzen eine ins Unendliche reichende Fläche. Gesucht ist ist Flächeninhalt.
Weiterhin: Der Schnittpunkt mit der x-Achse und der Hochpunkt von Kt (Hochpunkt: 1/t -3; (1/2t)*e^(3t-1)glaub ich) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Für welchen Wert von t ist der Flächeninhalt dieses Rechtecks minimal? Wie groß ist der Flächeninhalt?
Das wärs dann aber. DANKESCHÖN!!! |
Fu
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 19:03: |
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zum Integral:
der Flächeninhalt ist:
INtegral[0,oo]f1(x)-g(x)
=INtegral(0,5xe^-x+1,5e^-x-0,5xe^-x)
=-1,5e^-xin den grenzen[0,oo]
=1,5
rest versuch ich später muss los |
Sani
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 11:30: |
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Du Fu, bist du dir beim Integral sicher? Die untere Grenze ist doch -00. Hab das ganze mal gezeichnet, und ich glaub nich, dass der Flächeninhalt nur 1,5 FE groß ist, eher unbegrenzt groß. Oder irre ich mich? |
Lars (thawk)
Mitglied
Benutzername: thawk
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 11:59: |
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Hi Sani.
Lass mal -1,5 * e-x gegen Unendlich streben:
e-x = 1 / (ex)
Wenn x unendlich groß wird wird auch ex unendlich groß. Also unendlich großer Nenner -> der Bruch strebt gegen null.
Damit fällt der ganze zweite Teil beim Einsetzen in die Stammfunktion weg und 1,5 ist das Ergebnis.
Das erscheint unlogisch beim Zeichnen, ist aber trotzdem mathematisch so richtig.
Ciao, lars |
Sani
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 12:55: |
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Hi Lars!
Also, wenn's gegen positiv unendlich streben würde, würds mir einleuchten, aber es strebt doch gegen minus Unendlich. Das heißt dann doch, dass der Bruch 1/(e^x)unendlich groß wird... tut mir leid, kann's einfach nich nachvollziehen... |
Lars (thawk)
Mitglied
Benutzername: thawk
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 19:31: |
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Hi Sani.
Warum soll x gegen minus unendlich streben? Fu hat das oben schon richtig gerechnet, indem er die obere Grenze als plus-unendlich gesetzt hat.
Schau dir mal den Graphen an:
Für x gegen minus unendlich dürfte klar sein, dass die Fläche auch unendlich groß wird.
Für x gegen plus unendlich nähern sich aber die Graphen von K1 und g(x) einander an und bilden damit einen endlichen Flächeninhalt, der ja nach links durch die y-Achse begrenzt wird.
Das dürfte dein kleiner Denkfehler gewesen sein.
Jetzt klarer?
Machs gut,
Lars |
Sani
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 12:20: |
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Ja, dankeschön. |
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