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hans (kante)
Neues Mitglied
Benutzername: kante
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 22:04: | 
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Brauch Hilfe bei folgender Aufgabe: f(x)=ax-ln x (a>0;x>0)
Und nun die Aufgabe:Von A(0/1) aus wird an jede Kurve K die Tangente gelegt.Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes B dieser Tangente.Geben Sie die Ortslinie aller Berührpunkte an!
Die Gerade x=z mit z>0 schneidet die Kurve K im Punkt P(z/f(z)).In P wird die Tangente t an die Kurve gelegt.Zeigen Sie,dass für alle a>0 diese Tangenten durch einen gemeinsamen Punkt Q gehen.Geben Sie die Koordinaten von Q an! Für welches z ist Q der Punkt A(0/1)? |
Fu
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 00:15: |
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Eine ganz schön nette Aufagbe hast du da:
also die Lösung funktioniert folgendermaßen:
Tangentegleichung allgemein lautet:
t: y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
f'(x)=a-1/x in t ergibt
y=ax0-ln(x0)+(a-1/x0)(x-x0)
jetzt setzten wir noch A ein.
1=ax0-ln(x0)-ax0+1.. ln(x0)=0
ergibt x0=1
wieder oben eingesetzt in t:
y=a+(a-1)(x-1)=x(a-1)+1 :T
Da haben wir die Tangentengleichung.
Jetzt berührpunkt B:
setzten wir t=f(x)
x(a-1)+1=ax -ln(x)
-x+1=-ln(x)
=>e^(x-1)=x => x=1 b(1,a)
Die ortskurve ist ebenfalls x=1 da der x Wert vom schnittpunkt parameter unabhängig ist.
Jetzt haben wir eine Tangente in (z,f(z))
wieder mit der obigen Tangentengleichung:
eingesezt und umgeformt folgt:
y=(a-1/z)x-lnz+1
DIe tangenten haben einen gemeinsame punkt in x=0
da dort die gleichung unabhängig von a ist.
x=0 ergibt y=-lnz+1
für A(0,1) gilt 1=-lnz+1 => lnz=0 z=1 !!
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