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paddy (paddy3k)
Junior Mitglied
Benutzername: paddy3k
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 15:01: | 
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Hallo !
Es ist gegeben :
ft(x) = 1 / ln(tx)
t e R, t > 0
Nun zur Aufgabe :
Für jeden Punkt P(0 / a) (a e R, a > 0) existieren für jedes t, genau 2 Tangenten an
den Graph der Funktion f.
Wie kann ich diese ermitteln ? Freue mich über
alle Ratschläge !
Frohe Ostern!
paddy |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. März, 2002 - 15:36: |
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Hi paddy,
Mit der Kettenregel berechnen wir die erste Ableitung
der gegebenen Funktion y =ft(x); Ergebnis nach einer
Vereinfachung:
y ´(x) = -1 / x * 1 / [ln (t x )] ^ 2…………………….(1)
P1(x1/y1) sei der Berührungspunkt einer Tangente,
welche durch den auf der y-Achse liegenden Punkt
A(0 / a) geht, wobei a > 0 vorausgesetzt wird.
Aus der Kurvengleichung folgt:
y1 = 1 / [ln ( t x1 )]……………………………………(2)
Für die Steigung m einer solchen Tangente entsteht
aus der Gleichung (1) die Beziehung
m = -1 / x1 * 1 / [ln (t x1 )] ^ 2......................................(3)
Andrerseits stimmt m mit dem Differenzenquotient
[ yA- y1] / [ xA - x1] bezüglich der Punkte A und P1
überein ; somit gilt, wenn wir noch die Abkürzung
1 / [ln ( t x1 )] = u.........................................................(4)
einführen:
(a – y1) / (0 – x1 ) = - 1 / x1 * u
Benützt man noch die Gleichung (2), so kommt:
mit y1 = u (!) :
a – u = u^2 oder
u^2 + u – a = 0……………………………………….(5)
Die Diskriminante D dieser quadratischen Gleichung
für u beträgt D = 1 + 4 a und ist wegen der
Voraussetzung a > 0 selbst stets positiv.
Die quadratische Gleichung in u hat somit immer
zwei reelle und verschiedene Lösungen.
Damit gibt es auch stets genau zwei Tangenten an
die Kurve vom Punkt A aus, w.z.z.w
Wir berechnen noch aus (5) die beiden Werte u1 und u2:
u1= ½ *(-1 + wurzel(1 + 4 a )
u2= ½ *(-1 - wurzel( 1 + 4 a )
Für den x-Wert des Berührungspunktes ergibt sich:
x1 = 1/t * e ^(1/u)
Für den y-Wert des Berührungspunktes ergibt sich:
y1 = u
Für die Steigung m erhalten wir:
m = - t * e ^(-1/u) * u^2 ,
wobei für u der Reihe nach
die Werte u1 und u2 einzusetzen sind
Gleichung der Tangente:
y = mx + a
Beispiel
t = 2 und a = 2 seien gegeben
Wir erhalten mit D = 9 sofort
u1 = 1 und u2 = - 2.
Zu u = 1 gehört:
x1 = ½ *e
y1 = 1
m = - 2 /e
Tangentengleichung: y = - 2 / e * x + 2
Zu u = -2 gehört:
x1 = ½ * e^(- ½ )
y1 = -2
m = - 8 * e^( ½ )
Tangentengleichung: y = - 8 * e^( ½ )*x + 2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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