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Marian (marian)
Neues Mitglied
Benutzername: marian
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. März, 2002 - 16:09: | 
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Hallo alle zusammen! Ich habe erneut die Bitte, mir bei der folgenden Aufgabe zu helfen:
Gegeben ist die Funktionsschar zu
ft(x)=2x/(x²+t²) + 1/t ; t>0
a) Untersuchen Sie die Kurvenschar auf Nullstellen, Polstellen und Asymptoten. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich an.
b) Bestimmen Sie die Ableitungen ft' und ft''
c) Untersuchen Sie ft auf Extrema. Bestimmen Sie die Gleichungen der Ortslinien der Maxima und Minima.
d) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. Berechnen Sie anschließend den Inhalt der Fläche A, die vom Funktionsgraphen zu ft, den Koordinatenachsen und der senkrechten Gerade x=t begrenzt wird. Zeigen Sie, dass dieser Flächeninhalt von t unabhängig ist.
Bitte bitte helft mir bei der Lösung der Aufgabe bzw. gebt mir Lösungsansätze.
DANKE! |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 75
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. März, 2002 - 16:53: |
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Hi Marian
a)
Nullstellen:
ft(x)=0
<=>-1/t=2x/(x^2+t^2)
<=>-x^2/t-t=2x
<=>1/t*x^2+2x+t=0
<=>x=-t
Polstellen:
keine
Asymptoten:
Da berechnest du einfach den Grenzwert für x gegen +oo und -oo und erhälst als Asymptote bei beidem 1/t.
Definitionsbereich:
D=R
b)
ft'(x)=(-2*x^2+2t^2)/(x^2+t^2)^2
ft''(x)=-4x*(3t^2-x^2)/(x^2+t^2)^3
c)ft'(x)=0
<=>x^2=t^2
x=t oder x=-t
Setzt du das in die zweite Ableitung ein, so wirst du feststellen, dass bei t ein Hochpunkt und bei -t ein Tiefpunkt ist.
HP(t|2/t)
x=t
y=2/t
<=> y=2/x
Kurve der Hochpunkte
TP(-t|0)
y=0
Kurve der Tiefpunkte
d)
Substitution
z=x^2+t^2
dz/dx=2x
F(x)=ò2x/(x^2+t^2)dx+ò1/t dx
=ò1/z dz + x/t
=ln(z)+x/t
=ln(x^2+t^2)+x/t
Wir setzen jetzt erstmal als Grenzen 0 und t ein, d.h.:
A=F(t)-F(0)
=ln(2t^2)+1-ln(t^2)
=ln(2)+ln(t^2)+1-ln(t^2)
=ln(2)+1
Ich hoffe das hilft dir weiter
MfG
C. Schmidt |
Marian (marian)
Neues Mitglied
Benutzername: marian
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 22:09: |
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Hi Christian,
kannst du bitte mal deine Nullstellenberechnung aufschlüsseln, erklären, warum es keine Polstellen gibt (da muss ich doch den Nenner gleich Null setzen, oder?) und die Ableitungsberechnung erläutern, das wäre wirklich toll.
Danke! |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 95
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. März, 2002 - 14:03: |
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Hi Marian
Also nochmal zu den Nullstellen:
ft(x)=0
<=>2x/(x^2+t^2)+1/t=0 | -1/t
<=>-1/t=2x/(x^2+t^2) |*(x^2+t^2)
<=>-x^2/t-t=2x |+1/t*x^2+t
<=>1/t*x^2+2x+t=0 |jetzt einfach nur noch die quadratische Gleichung nach x auflösen, z.B. mit der a,b,c-Formel:
(-2+-Wurzel(4-4*t*1/t))/(2/t)=x
x=-2/(2/t)=-t
NS(-t|0)
Polstellen:
Mit dem Nenner gleich 0 setzten das stimmt schon weil dann an der Stelle eine Definitionslücke wäre. Es müsste sich zwar nicht um eine Polstelle handeln, könnte es aber. Nur wird bei dir der Nenner nie 0, weil x^2 am kleinsten wird an der Stelle 0, nämlich 0, aber t ist laut Definition immer größer als 0.
Ableitungen:
Die 1/t fallen schon in der ersten Ableitung weg, weil es sich um eine Konstante handelt, also brauchst du praktisch nur noch den Bruch abzuleiten. Das geht mit der Quotientenregel:
(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2
In deinem Fall ist u=2x und v=x^2+t^2, also:
u'=2 und v'=2x und v^2=(x^2+t^2)^2. Das setzen wir jetzt einfach mal ein:
ft'(x)=(2*(x^2+t^2)-2x*(2x))/(x^2+t^2)^2 |Zähler ausmultiplizieren
=(2x^2+2t^2-4x^2)/(x^2+t^2)^2
=(-2x^2+2t^2)/(x^2+t^2)^2
Die zweite Ableitung geht jetzt auch wieder mit der Quotientenregel, nur brauchst du hier für den Nenner noch die Kettenregel, d.h. innere mal äußere Ableitung:
u=-2x^2+2t^2
u'=-4x
v=(x^2+t^2)^2
v'=2x*2*(x^2+t^2)
v^2=(x^2+t^2)^4
ft''(x)=(-4x*(x^2+t^2)^2-(-2x^2+2t^2)*2x*2*(x^2+t^2))/(x^2+t^2)^4
Im Zähler Klammern wir jetzt erstmal x^2+t^2 aus und kürzen:
ft''(x)=(-4x*(x^2+t^2)-(-2x^2+2t^2)*4x)/(x^2+t^2)^3
Jetzt noch im Zähler ausmultiplizieren:
ft''(x)=(-4x^3-4xt^2+8x^3+8xt^2)/(x^2+t^2)^3
-4x ausklammern:
ft''(x)=-4x*(3t^2-x^2)/(x^2+t^2)^3
MfG
C. Schmidt |
Marian (marian)
Neues Mitglied
Benutzername: marian
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 11:41: |
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Eine Stelle kann ich noch nicht nachvollziehen:
Bei c) hast du einen Hoch-und Tiefpunkt berechnet.
Dass x=t ist klar, aber wie kommst du auf y=2/t beim HP und y=0 beim TP?
Kannst du mir das bitte noch erklären? DANKE! |
Marian (marian)
Neues Mitglied
Benutzername: marian
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 15:05: |
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Ach ja und dann kam noch die Frage auf, wie bei der Substitution der Zähler 2x verschwinden kann (dz/dx=2x) |
Marian (marian)
Neues Mitglied
Benutzername: marian
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 13:43: |
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HALLO CHRISTIAN ODER ANDERE!
Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn du bald antworten könntest, da ich die Lösung dringend brauche!
DANKE! |
