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GvB
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 18:40: | 
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Oftmals, z.B. bei Extremalaufgaben ist es sinnvoll sich der Zusammenhänge zwischen Ausgangsfunktion, Ableitungen und Stammfunktionen klar zu werden.
So hat zum Beispiel die Ausgangsfunktion dort ihre Nullstelle, wo die Stammfunktion ihr Extrema hat. Wo die Ausgangsfunktion ihre Extrema hat, hat demnach die 1. Ableitung ihre Nullstellen....usw.
Wo die Ausgangsfunktion den Wendepunkt hat, besitzt die 2. Ableitung ihre Nullstellen.
Oder wo die Ausgangsfunktion einen Monotiewechsel hat, besitzt die 1. Ableitung ihre Nullstelle. Aus diesem Zusammenhang wird auch die Art der Extrema klar. Wo die 1. Ableitung < 0 und dort fällt die Augangsfunktion, entsprechend andersherum steigt die Ausgangsfunktion.
Erfolgt nun ein Monotoniewechsel von steigend zu fallend befindet sich bei der Ausgangsfunktion ein Maximum.
usw.....
Nun meinte meine Lehrerin, um einen Sattelpunkt nachvollziehen zu können, müsse ich mir irgendeines Zusammenhanges klar werden. Welcher ist dieser? Sie meinte weiterhin ich müsste dabei "rückwärts" vorgehen, also: wo die n.-te Ableitung **** hat, besitzt die n-1. Ableitung dort *******.
Was sind überhaupt solche rückwärtigen Zusammenhänge. z.B.: Wo die 2. Ableitung einen Tiefpunkt hat, hat die 1. Ableitung WAS??? Ihre Nullstelle und die Ausgangsfunktion einen Monotoniewechsel von fallend zu steigend???
Jaja, die liebe Theorie, bitte helft mir. |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 19:04: |
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Hi GvB
Zunächst einmal musst du dir klarmachen, was ein Wendepunkt ist. Ein Wendepunkt liegt genau dann vor, wenn erste Ableitung einen Extrempunkt hat, d.h. die zweite Ableitung 0 wird. Hinreichendes Kriterium ist noch, dass die 3.Ableitung nicht 0 wird. Ein Sattelpunkt ist ja nichts weiter als ein Wendepunkt, in dem die Funktion die Steigung 0 hat. Also muss auch noch die erste Ableitung 0 werden, weil diese ja die Steigung der Funktion angibt.
MfG
C. Schmidt |
GvB
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 19:36: |
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Was wäre denn, wenn die 3. Ableitung dann nicht 0 wird??? |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 19:50: |
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Wenn die dritte Ableitung nich t0 wird, liegt ein Wendepunkt vor.
MfG
C. Schmidt |
GvB
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 20:16: |
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Also: Ein Wendepunkt der Ausgangsfunktion ist dort, wo die 2. Ableitung ihre Nullstelle hat.
Ist nun aber die Nullstelle der 1. Abl. gleich der der 2. Abl., liegt Vermutung auf Sattelpunkt vor.
Ist diese Nullstelle in die 3. Abl. eingesetzt gleich 0, dann hat f(x) einen Sattelpunkt. Ist die Nullstelle in 3. Abl. eingesetzt aber nicht 0, dann liegt trotz dessen, dass 1. und 2. Abl. die gleiche Nullstelle haben, nur ein "normaler Wendepunkt" vor???
WARUM??? |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 21:07: |
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Also nochmal:
Du hast im Normalfall immer ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium. Notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung 0 wird, hinreichend ist, dass die 3.Ableitung nicht 0 wird. Ein Sattelpunkt liegt genau dann vor, wenn ein Wendepunkt vorliegt und dieser mit der hinreichenden Bedingung nachgewiesen wurde und zusätzlich noch die erste Ableitung 0 wird.
Wird die dritte Ableitung 0, so musst du den Punkt nochmal gesondert untersuchen, zum Beispiel mit Vorzeichenwechsel. Einfaches Beispiel hierfür ist die Funktion f(x)=x^4
f'(x)=4x^3
f''(x)=12x^2
f'''(x)=24x
Betrachten wir jetzt die Stelle 0. Alle drei Ableitungen werden 0 an der Stelle. Wenn wir jetzt nur die zweite Ableitung betrachtet hätten, könnte man fälschlicherweise auf einen Wendepunkt schließen. Setzt man aber x=0 in der dritten Ableitung, so sieht man, dass auch diese Ableitung 0 wird. Das hinreichende Kriterium ist nicht erfüllt, man muss die Funktion also weiter untersuchen. Dass in diesem Fall kein Wendepunkt vorliegt, liegt daran, dass die erste Ableitung keinen Extrempunkt besitzt und trotzdem an einer Stelle die Steigung 0 hat. Dadurch wird dann auch später die dritte Ableitung 0.
MfG
C. Schmidt |
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