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Beitrag |
    
Beni M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 13:55: | 
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Hallo,
Mit der folgenden Aufgabe kann ich leider
nichts anfangen.
Sie lautet :
Für die in Parameterform gegebene Kurve
x = a [ln cotg (t/2) – cos t]
y = a sin t
0 < t < ½ Pi ermittle man
a) die zweite Ableitung von y nach x
b) den Krümmungsradius rho als Funktion von t .
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar
Beni M.
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H.R.Moser.megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 16:03: |
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Hi Beni,
Bei der Kurve handelt es sich um die eine
Hälfte einer Traktrix oder Schleppkurve
a)
wir berechnen die erste Ableitung dy /dy und
die zweite Ableitung d^2y /dx^2 in allgemeiner Form:
Ergebnis
(Ableitungen nach dem Parameter t werden mit Punkten
° bezeichnet) :
dy /dy = y° / x°
d^2y /dx^2 = d [y°] /dt * dt /dx =
[ x° * y°° + y° * x°°] / {(x°) ^ 2 } * 1 / x°
Vorbereitung :
Für die Traktrix gilt nun :
x° = a * [- ½ /{cotg( ½ t)*(sin ½ *t)^2}+ sin t ] =
- a * (cos t ) ^2 / sin t
y° = a * cos t
Aus dieser Beziehung folgt:
y ´ = - tan t , woraus die geometrische Bedeutung
des Parameters t sofort ersichtlich wird.
Weiter folgt:
x°° = a*cos t * [ 1 + (sin t)^2 ] / (sin t ) ^2 ,
y°° = - a * sin t .
Daraus entspringt nach kurzer Rechnung die gesuchte
zweite Ableitung von y nach x:
d^2y /dx^2 = 1/a * sin t / ( cos t ) ^ 4
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b)
Weiter erhalten wir für den Krümmungsradis rho
nach einer bekannten Formel:
rho = [ 1 + (y´)^ 2] ^ (3/2) / y ´´ =
a * (cos t )^4 * wurzel ( 1 + ( tan t ) ^ 2 ) ^ 3 / sin t =
a* cos t / sin t , somit :
rho = a * cotg (t)
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MfG
H.R.Moser,megamath
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Beni M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. März, 2002 - 15:31: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für Deine ausführliche Lösung !
MfG
Beni
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