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Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 13:27: | 
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Ich hab gerade angefangen ein Buch zu lesen. Dort geht es am Anfang um Mengenlehre, das ist aber alles sehr kurz beschrieben. Mir fehlen irgendwie ein paar Beispiele zu den ganzen Sachen. Könnt ihr mir mal erklären, was eine Äquivalenzklasse ist und jeweils ein möglichst einfaches Beispiel zu folgenden Sachen geben:
-Eine kompakte Menge
-Ein Beispiel zur sigma-Algebra
-Borelsche Algebra
Vielen Dank schonmal
C. Schmidt |
Josef Filipiak (filipiak)
Mitglied
Benutzername: filipiak
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 19:29: |
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Hallo Christian, die Menge M wird durch jede Äquivalenzrelation in sogenannte Äquivalenzklassen, in disjunkte Untermengen, zerlegt.
Beispiel:
M sei die Menge aller Kinder eines großen Mietshauses, die Relation R lautet: "hat dieselben Eltern wie".
Durch R wird in M eine Äquivalentzrelation definiert. Eine Äquivalenzklasse besteht jeweils aus den Kindern mit denselben Eltern (Geschwister). Ein Kind kann dabei nicht 2 verschiedenen Klassen angehören.
Beispiel 2:
Die Äquivalenzrelation R: "ist gleich" teilt die Menge aller rationalen Zahlen (Brüche) in unendlich viele Äquivalenzklassen. Jeder Bruch ist dabei Repräsentant der Klasse, der er angehört. Z.B. 1/2; 2/4; 3/6; usw. oder 1/5; 2/10; 3/15 usw. Äquivalente Bruchzahlen gehören einer Klasse an.
Gruß Filipiak
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Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 20:06: |
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Der Begriff "kompakt" gehört eigentlich weniger zur Mengenlehre, denn zur Topologie.
Betrachte z. B. die Ebene R². Kompakt darin ist alles, was sowohl beschränkt als auch abgeschlossen ist.
Beschränkt sind z. B. ein Kreis, eine endliche Punktmenge, eine Strecke. Nicht beschränkt sind z. B. eine Gerade oder die obere Halbebene.
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie keine weiteren "Berührpunkte" hat, wenn also der Rand mit zur Menge gehört.
Abgeschlossen, und damit kompakt, ist z. B. der Kreis
{(x,y) | x² + y² <= 1}
Nicht abgeschlossen, und damit nicht kompakt, ist z. B. ist der Kreis
{(x,y) | x² + y² < 1}
Abgeschlossen (aber nicht kompakt) ist z. B. die Halbebene
{(x,y) | y >= 0}
Nicht abgeschlossen ist z. B. die Halbebene
{(x,y) | y > 0}
oder auch
{(x,y) | y >= 0} \ {(0,0)}
Nicht abgeschlossen, und damit nicht kompakt, ist z. B.
{1/n | n aus N}
(der Berührpunkt 0 gehört nicht zur Menge.)
{0} vereinigt {1/n | n aus N}
ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. |
Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 20:08: |
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Die letzten beiden Beispiele sollen lauten:
Nicht abgeschlossen, und damit nicht kompakt, ist z. B.
{(1/n,0) | n aus N}
(der Berührpunkt (0,0) gehört nicht zur Menge.)
{(0,0)} vereinigt {(1/n,0) | n aus N}
ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 15:59: |
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Vielen Dank für die Beiträge
Jetzt wird mir das alles schon etwas klarer.
MfG
C. Schmidt |
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