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Max Mustermann (seppel)
Neues Mitglied
Benutzername: seppel
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 13:08: | 
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Hallo liebe Mathe-Genies,
Habe ein problem bei folgender Aufgabe:
-> Weisen sie nach, dass alle Wendetangenten ta der Schar (fa(x)= (5e^x)/((e^x)+a)) zueinander parallel sind?
Weiß nicht genau, wie man eine wendetangente bestimmt und wie man die parallelität nachweisen kann!
Um einen kleinen Tip von Euch wäre ich, wie immer, sehr dankbar.
Viele Grüße Sep |
Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 14:46: |
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Hi Max
Zunächst einmal musst du die ersten drei Ableitungen der Funktion bestimmen:
fa'(x)=5a*e^x/(e^x+a)^2
fa''(x)=5a*e^x(-e^x+a)/(e^x+a)^3
fa'''(x)=5a*e^x*(e^(2x)-4a*e^x+a^2)/(e^x+a)^4
Um die Wendepunkte zu bekommen, setzen wir die 2. Ableitung gleich 0:
fa''(x)=0[Der Term Wird genau dann 0, wenn der Zähler 0 wird]
e^x*a*(-e^x+a)=0
-e^x*a=0
e^x=a
x=ln(a)
Es befindet sich also ein Wendepunkt an der Stelle x=ln(a), du kannst mit der dritten Ableitung noch überprüfen, dass tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt.
Um jetzt zu zeigen, dass alle Wendetangenten parallel sind, musst du nur noch zeigen, dass sie im Punkt x=ln(a) die gleiche Steigung haben, d.h. du musst fa'(ln(a)) bestimmen:
fa'(ln(a))=5/4
Die Wendetangenten haben alle die Steigung 5/4, sind also parallel.
Du musst hierbei noch beachten, dass es nicht für jedes a Wendetangenten gibt, a muss größer als 0 sein.
MfG
C. Schmidt |
Max Mustermann (seppel)
Neues Mitglied
Benutzername: seppel
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 14:54: |
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lieber christian,
erst einmal vielen dank für deine Hilfe!!! (hat mir sehr geholfen)
Nur noch eine kleine generelle Frage. Wie bestimmt man denn allgemein Wendetangenten? Gibt es da nicht irgendwie 'ne Gleichung, wie z.b. eine Geradengleichung y=mx+b, oder benötigt man generell nur die Steigung, um Aufgaben wie diese zu lösen?
mfg seppel
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Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 15:10: |
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Hi Max
Tangenten sind ja auch nichts anderes als Geraden
Du kannst sie also auch auf die Form y=mx+b bringen, nur wurde das bei deiner Aufgabe nicht benötigt. Ich werde dir das dann aber trotzdem mal zeigen. Die Steigung der Tangente hatten wir ja bereits bestimmt, also ist m=5/4. Jetzt suchst du dir einfach einen beliebigen Punkt, durch den die Tangente läuft. Wir nehmen dafür x=ln(a), denn dort wissen wir, das die Tagente den Graphen berührt. Der y-Wert ist 5/2.
d.h. in die Geradengleichung eingesetzt:
y=mx+b
y=5/4*x+b
5/2=5/4*ln(a)+b
5/2-5/4*ln(a)=b
ta(x)=5/4*x+5/2-5/4*ln(a)
MfG
C. Schmidt |
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