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Klaus M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 08:43: | 
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Hallo,
Ich habe grösste Mühe, die folgende Aufgabe zu lösen.
Kann mir jemand helfen ?
Hier die Aufgabe
Die Funktion
f(x) = 1/ ((x^2-1)*(x-2)) ist (ohne Rechner) in eine
Potenzreihe in x bis und mit x ^ 3 zu entwickeln.
Wie lautet der Beginn dieser MacLaurin –Reihe ?
Besten Dank im Voraus
Klaus M.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 10:34: |
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Hi Klaus,
Zur Lösung Deiner Aufgabe benütze ich nicht die
Methode gemäss MacLaurin, nach welcher die
sukzessiven Ableitungen von f(x) bestimmt werden
müssen; dieses Verfahren ist im vorliegenden Fall
etwas kompliziert
Vielmehr ist zu empfehlen, f(x) in Partialbrüche zu
zerlegen, dann die einzelnen Brüche in Reihen zu
entwickeln und diese schliesslich zu addieren
Die Nenner für die genannte Partialbruchzerlegung lauten:
(x +1),(x - 1),(x - 2) .
Die Zähler sind der Reihe nach A, B ,C
Mit der gebräuchlichen Methode findet man:
A = - ½ , B = 1/6 , C = 1/3 ,so dass
f(x) = -1/2 * 1/(x+1) +1/6*1/(x-1) + 1/3*1/(x-2)
entsteht
Die zu den Brüchen gehörenden (geometrischen) Reihen sind:
1 / (x+1) = 1 – x + x^2 -........
1 / (x-1) = - 1 – x - x^2 +.........
1 / (x-2 ) = - ½* [ 1 / (1-x/2)] = - ½ - x / 2^2 – x ^2 / 2^3 -...
Daraus entssteht nach erfolgter Addition der Partialbrüche und
einer effizienten Zusammenfassung schliesslich:
f(x) =1 / [(x^2-1)*(x-2)] =
½ + ¼ x +1/3*[2^4-1]/2^3 * x^2 + 1/3*[2^4-1]/2^4 *x^3 +………
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Klaus M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 09:01: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für Deine Hilfe.
Ich habe sehr viel von deiner Lösung profitiert !
mfG
Klaus
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