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M.J. (might_tower)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 14:45: | 
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Also wenn man im laufe der umformung z.b auf
1+2+3.....+n trifft ist das ja kein prob. das sind ja dann 1/6*(n+1)*n*(2n+1)! aber was mach ich mit 1+2+3+...+(n-1) bei der untersumme laut buch ist das 1/6 *(n-1)*n*(2n-1).. wie komm ich darauf und ist das bei jeder dieser Sumenformeln so?? danke Marc |
M.J. (might_tower)
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Benutzername: might_tower
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 16:33: |
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wo wir gerade da bei sind... wie berechne ich die ober/untersumme für (x^2)/2+1 und (x^2)+x?
hab alles vergessen seid anfang der 12.... |
M.J. (might_tower)
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Benutzername: might_tower
Nummer des Beitrags: 3
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 16:37: |
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wo wir gerade da bei sind... wie berechne ich die ober/untersumme für (x^2)/2+1 und (x^2)+x?
hab alles vergessen seit anfang der 12....
(Beitrag nachträglich am 19., März. 2002 von might_tower editiert) |
Ludewig
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 23:34: |
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Moin MJ!
Zuerst einmal eine Kleinigkeit:
Die Formel
"1+2+3.....+n = 1/6*(n+1)*n*(2n+1)"
ist FALSCH!
Was Du wahrscheinlich meintest, sind die Formeln
"1+2+3.....+n = 1/2*(n+1)*n"
und
"1²+2²+3².....+n² = 1/6*(n+1)*n*(2n+1)"
Diese Formeln gelten für jede natürliche Zahl n.
Wenn Du z.B. die Summe
1+2+3+...+42
hast, dann setzt Du einfach für n 42 ein.
Okay, und wenn Du jetzt auf die Summe
1+2+3+..+(n+1) stößt, dann setzt Du einfach für n den Ausdruck (n+1) ein.
Beispiel:
Berechne 1²+2²+...+(n-1)²
Hier benutzen wir nun die Formel für
1²+2²+...+n², nur setzen wir für n (n-1) ein.
Das ergibt
1/6*((n-1)+1)*(n-1)*(2(n-1)+1)
Und das lässt sich netterweise zu
1/6*(n)*(n-1)*(2n-2+1)
und zu
1/6*n*(n-1)*(2n-1)
umformen.
Was Du mit "Ist das immer so?" meinst, hab ich nicht ganz verstanden.
Zu der Obersumme:
Wenn Du die Obersumme berechnen sollst, dann ist es wichtig zu wissen, ob die Funktion auf dem Intervall, über dem Du integrieren sollst, monoton steigend oder monoton fallend ist.
Denn die Idee ist ja: Wir teilen das Intervall in n Teile auf, und nehmen dann immer den höchsten Wert, den die Funktion auf jedem dieser n Teilintervalle annimmt und multiplizieren diesen mit der Intervallbreite und summieren das alles auf.
Man muss also für das Berechnen der Obersumme wissen, wo die Funktion auf jedem dieser kleinen Teilintervalle ihren Maximalwert annimmt.
Und eine monoton steigende Funktion nimmt ihren größten Wert immer am RECHTEN ENDPUNKT des Teilintervalls an, während eine monoton fallende Funktion ihren maximalen Funktionswert am LINKEN ENDPUNKT an.
Bei Untersummen ist das alles entsprechend umgekehrt.
Okay, Beispiel:
Die Funktion f(x)=x²+x soll integriert werden auf dem Intervall von a bis b, wobei 0 kleinergleich a und a kleiner b ist.
Auf diesem Intervall ist f streng monoton steigend, weil sowohl x² als auch x für alle x>0 streng monoton steigend ist. (x ist auch für x<0 streng monoton steigend, aber x² nicht mehr)
Das Intervall [a,b] hat die Länge (b-a)
Nun teilen wir unser Intervall von a bis b in n gleichgroße Teile ein.
Jeder dieser Teile hat die Länge (b-a)/n
Das k-te Teilintervall ist demnach
[ a+(k-1)*(b-a)/n bis a+k*(b-a)/n ].
OBERSUMME =
Summe(k=1 bis n) [f(rechter Endpunkt des k-ten Intervalls) * Intervalllänge ]
= Summe(k=1 bis n) [f(a+k(b-a)/n) * (b-a)/n ]
= Summe(k=1 bis n) [((a+k(b-a)/n)²+(a+k(b-a)/n)) * (b-a)/n ]
= Summe(k=1 bis n) [a²+2ak(b-a)/n+k²(b-a)²/n²+a+k(b-a)/n]*(b-a)/n
nach einer Menge elementarer, aber ekliger Umformungen kann man diese Summe in drei einzelne Summen umformen, einer über k², eine über k und eine über 1:
= (b-a)³/n³*Summe(k²) + (b-1)²/n²(2a+1)*Summe(k) + (b-a)/n*(a+1)a*Summe(1).
In jeder dieser Summen geht k von 1 bis n.
Beim Rechnen mit solchen Summenzeichen muss man etwas aufpassen, da man alle Ausdrücke, die nur a, b und n enthalten (UND KEIN k) als Konstanten vor die Summe ziehen kann, während das mit allem, was ein k enthält nicht möglich ist.
Hier verwendet man nun die oben genannten Formeln, bzw. nutzt aus, dass die Summe von n Einsern einfach gleich der Zahl n ist, und erhält:
= (b-a)³/n³*1/6*n(2n+1)(n+1) + (b-1)²/n²(2a+1)*n(n+1) + (b-a)/n*(a+1)a*n.
Man kann das nun zum Beispiel umformen zu:
1/6(b-a)³(2+1/n)(1+1/n) + (a+1/2)(b-a)²(1+1/n) + a(a+1)(b-a).
Das wäre eine Formel für die Obersumme des gesuchten Integrals.
Der Grenzwert für n-> +oo lässt sich einfach summandenweise berechnen:
1/6(b-a)³*2 + (a+1/2)(b-a)²1 + a(a+1)(b-a).
Weitere elementare Ausmultiplizierungen und Zusammenfassungen ergebn dann schließlich:
(1/3*b² + 1/2*b²) - (1/3*a³ + 1/2*a²)
Und wenn man schon weiß, wie man solche Funktionen einfacher integriert, dann sieht man, dass das Ergebnis stimmt.
Für die Untersumme macht man genau das Selbe, nur dass die Summen halt nur bis (n-1) gehen, wie oben genauer erklärt.
Der Grenzwert der Untersumme sollte dann hoffentlich der Selbe wie der der Obersumme sein...
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Bis denne
Ludewig |
M.J. (might_tower)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 13:25: |
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jo danke hast mr sehr geholfen :-) |
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