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Beitrag |
    
Oskar A.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 10:24: | 
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Hallo,
Mit der folgenden Aufgabe weiss ich nicht
ein und aus !
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.
Die Aufgabe lautet
Die Gerade g geht durch den Nullpunkt O(0/0/0)
und den Punkt A(0/1/k),wobei k eine gegebene
Konstante ist.
Diese Gerade ist die Achse eines Rotationszylinders
mit Radius r.
Der Zylinder schneidet die (x,y)-Ebene in einer Ellipse.
Man berechne die Halbachsen dieser Ellipse.
Vielen Dank im Voraus
Oskar A.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 12:43: |
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Hi Oskar A.
Wir berechnen den Richtungsvektor v der Zylinderachse g
und bekommen sofort v = {0;1 ; k} :
Der allgemeine Punkt der gesuchten Zylinderfläche sei mit
P(x/y/z) bezeichnet, w sei der Ortsvektor OP von P;
wir erhalten w = {x,y,z}
Nun berechnen wir mit Hilfe des Vektorproduktes p = w x v
(Kreuzprodukt!) den Abstand d des Punktes P von der Geraden
g; es gilt d = abs(p) / abs (v) ;
im Zähler steht der Betrag des Vektors p, im Nenner derjenige
von v.
Ausführung: p = { ky - z; - kx; x}
abs (p) = wurzel [( ky – z)^2 + k^2 * x^2 + x^2 ]
abs (v) = wurzel [ 1 + k^2 ].
Setzen wir den Abstand d gleich dem gegebenen Zylinderradius,
so erhalten wir die Bedingungsgleichung:
r = wurzel [(ky – z)^2 + k^2 * x^2 + x^2 ] / wurzel [ 1 + k^2 ].
Nun wird diese Gleichung quadriert und bruchfrei geschrieben.
Damit erhalten wir als Gleichung der Zylinderfläche zunächst
( ky – z ) ^ 2 + k^2 * x ^ 2 + x ^ 2 – r^2 * ( 1 + k^2) = 0 ;
geordnet:
(k^2+1)*x^2 + k^2*y^2 + z^2 – 2 k y z - r^2 * (1 + k^2) = 0 ;
Schnitt mit der (x,y)-Ebene bedeutet z = 0 setzen ; ergo:
(k^2+1)*x^2 + k^2*y^2 = r^2 * (1 + k^2)
Dies ist die Gleichung der Schnittellipse.
Die Halbachsen a (auf der x-Achse) , b (auf der y-Achse) lauten:
a = r , b = wurzel(1+k^2) * r / k
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 13:19: |
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Hi Otto,
Wenn bei Deiner Aufgabe nur die Halbachsen der Ellipse
gesucht werden, kann eine Methode eingesetzt werden,
die wesentlich rascher zum Ziel führt.
Sei beta der Winkel zwischen der z –Achse und der
Zylinderachse g; daraus erhalten wir mit dem
Komplementärwinkel alpha = 90°- beta den
Neigungswinkel der Zylinderachse bezüglich der
Schnittebene, der (x,y)-Ebene.
Wir berechnen cos(beta) mit dem Skalarprodukt der
beiden Vektoren e3 = {0;0;1}und dem Richtungsvektor
v = {0; 1 ; k} der Zylinderachse:
cos(beta) = e3 . v / [abs(e3) * abs(v)] = k / wurzel(1+k^2).
Die kleine Halbachse a stimmt mit dem Zylinderradius r
überein, also gilt
a = r
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Die grosse Halbachse b ergibt sich durch Division von r mit
sin(alpha) = cos(beta)
Daher
b = [r * wurzel(1+k^2)] / k
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Oskar A.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 09:32: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Deine Beiträge haben mir sehr geholfen.
Besten Dank !
mfG
Oskar
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