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Beitrag |
    
Robert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. März, 2002 - 20:07: | 
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Für einen Eisbecher darf sich der kleine Kai 5 Kugeln aus 8 verschiedenen Eissorten aussuchen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, den Becher zusammenzustellen?
Erst schien die Lösung ganz einfach:
erste Kugel: 8 mögliche Sorten
zweite Kugel: 8 mögliche Sorten
dritte Kugel: 8 mögliche Sorten
vierte Kugel: ...
fünfte...
also 8^5 Möglichkeiten.
Dann fing bei uns die Diskussion an:
Es wäre kein Unterschied, ob er z.B. Vanille-Vanille-Vanille-Schokolade-Zitrone nimmt oder
Vanille-Vanille-Vanille-Zitrone-Schokolade
, weil die Reihenfolge egal ist, wenn es in einem Becher landet.
Hab ich eingesehen. Also nicht 8^5.
doch jetzt kommt das Problem:
Dazu wollte ich, wie bei der Anzahl Möglichkeiten mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, durch die Anzahl Möglichkeiten teilen, die 5 Kugeln untereinander anzuordnen:
8^5 / 5! .
Das Problem:
8^5 /120 ist keine ganze Zahl.
Kann die Anzahl der Möglichkeiten hierbei gleich 273.0666 sein?
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Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 12:25: |
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Hi Robert
Wenn du durch 5! teilst bedeutet das, das immer alle Kugeln verschieden sein müssen, was aber sicher nicht der Fall ist. Am einfachsten machst du sowas mit Eulersymbolen. Bei dir handelt es sich um eine Kombination von 8Elementen zur 5.Klasse mit Wiederholungen, d.h. du benutzt folgende Formel:
(n+k-1)über k=((n+k-1)!/(n-1)!*(k)!)
In deinem Fall ist n=8 und k=5. Du erhälst als Lösung also 792mögliche Anordungen.
MfG
C. Schmidt |
Robert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 23:31: |
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Hi Christian, vieeelen Dank für die Antwort.
Die Formel selbst ist mir noch überhaupt nicht klar.
> ...dass immer alle Kugeln verschieden sein müssen ....
Sehe ich ein.
>Eulersymbole
?? was ist das?
also: Google kennt die jedenfalls nicht:
http://www.google.de/search?q=Eulersymbol
vielen Dank für die Formel:
(n+k-1)über k=((n+k-1)!/(n-1)!*(k)!)
ich habe auch probiert, ob sie hinkommt:
Beispiel: 4 Eissorten: n=4
3 Kugeln: k=3:
(n+k-1)über k=((n+k-1)!/(n-1)!*(k)!) = (6)über(3) = 20, stimmt:
VVV, EEE, SSS, ZZZ
VVE, EEV, SSV, ZZV
VVS, EES, SSE, ZZE
VVZ, EEZ, SSZ, ZZS
ESZ, VSZ, VEZ, VES
2 Kugeln aus 4 Sorten: n=4, k=2:
(n+k-1)über k=((n+k-1)!/(n-1)!*(k)!) = (5)über(2) = 10, stimmt:
VV, EE, SS, ZZ, VE, VS, VZ, ES, EZ, SZ
1 Kugel aus 4 Sorten:
V, E, S, Z
(n+k-1)über k=((n+k-1)!/(n-1)!*(k)!) = (4)über(1) = 4, stimmt.
Aber warum zum (@&~*##@)(sorry) gilt diese Formel?
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Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. März, 2002 - 12:39: |
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Hi Ropert
Zunächst einmal kennst du ja die Formel, dass man n verschieden Elmente zu n! möglichkeiten anordnen kann, wenn die Anordnung eine Rolle spielt. D.h. wenn du 2verschiedenfarbige Kugeln hast, z.B. rot und schwarz, dann gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich {schwarz,rot} und {rot, scharz}.
Sind jetzt aber mehrere Elemente gleich, so ergibt sich folgende Formel.
(n1+n2+n3+...nk)!/(n1!*n2!*n3!...*nk!)
Als Beispiel nehme ich mal wieder Kugeln. Du hast beispielsweise 8Kugeln von denen 3weiss,4rot und eine schwarz sind. Es würde zunächst mal 8! mögliche Anordungen geben. Jetzt muss man aber beachten, dass es 3weisse Kugeln gibt. Diese kann man auf 3! verschiedene Möglichkeiten anordnen. Also muss man die 8! durch 3! teilen, damit diese Möglichkeiten wieder wegfallen. Das gleiche gilt für die roten und die schwarzen Kugeln. Es gibt also (3+4+1)!/(3!*4!*1!) mögliche Anordnungen.
Diese Formel wird gleich noch benötigt.
Jetzt zu der Formel, die ich oben benutzt habe. Sie sagt aus, dass man beispielsweise 2 uns 3verscheidenen Kugeln mit Zurücklegen zieht und dabei die Anordnung keine Rolle spielt. D.h. bei obigem Beispiel {schwarz, rot} = {rot, schwarz}
Wir stellen und jetzt mal vor, dass aus 3verschiedenen Kugeln a,b,c zwei mit zurücklegen gezogen werden. + steht dafür, dass die Kugel gezogen wurde. | sind einfach die Trennstriche zwischen den einzelnen Möglichen Ergebnissen.
a|b|c
++||{a,a}
+|+|{a,b}
+||+{a,c}
|++|{b,b}
|+|+{b,c}
||++{c,c}
Die Anordnung der Trennstriche und der "+" kannst du als Zeichenkette verstehen. Bei n verschiedenen Kugeln gibt es natürlich immer n-1 verschiedene Trennstriche und wenn k mal gezogen wird, gibt es k*"+". Du musst also nur noch berechnen, wie viele Mögliche Anordnungen es gibt von n-1+k (Zeichenkette hat soviele Elemente) Elementen, wobei die einen Elemenente k mal vorkommen und die Trennstriche n-1 mal. Genau das kannst du mit der Formel von oben machen:
(n-1+k)!/((n-1)!*k!)
Jetzt nochwas zu den Eulersymbolen oder Binomialkoeffizienten. Das ist eigentlich lediglich eine abkürzende Schreibweise. Wenn du sagst n über k, dann schreibst du das wie ein Bruch nur ohne Bruchstrich und machst Klammer darum. Die Bedeutung ist ganz einfach:
n über k = n!/((n-k)!*k!)
Wenn du dir jetzt nochmal diese Formel (n-1+k)!/((n-1)!*k!) anschaust, siehst du, dass das das gleiche ist wie (n+k-1) über k. Man spart sich aber einiges an Schreibarbeit.
Ich hoffe mal das hilft dir ein wenig .
MfG
C. Schmidt
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Robert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. März, 2002 - 23:28: |
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Jaa, jetzt versteh ichs.
Wie bist du bloß auf den Trick mit den Trennstrichen gekommen?
Wenn ich nun 8 Eissorten habe, und 5 Kugeln werden davon ausgesucht, dann muss nicht von jeder Sorte eine Kugel vorhanden sein, es kann auch leere Felder geben. Also haut das mit der Anzahl Trennstriche plus der Anzahl Kugeln hin.
Was mich nach wie vor erstaunt, ist: wie du darauf gekommen bist, wo ich das bisher noch nie in einem Buch gefunden habe.
Dieser Fall kommt jedesmal nicht vor, wenn ich ihn suche. Soll aber kein Grund für dich sein, hier nochmal was schreiben zu müssen.
Vom Thema her habe ich alles verstanden.
Danke vielmals
mfG Robert
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Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 13:44: |
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Hi Ropert
Das Ganze stammt aus unserem Lambacher Schweizer Stochastik LK Mathebuch. Das war eine Aufgabe, wobei man aber sehr viele Tips bekommen hat, z.B. das mit den Trennstrichen
MfG
C. Schmidt |
Tyll (tyll)
Junior Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 00:18: |
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Wen's noch interessiert...
Es handelt sich bei Christians Formel ganz allgemnein um die Kombinationen einer ungeordneten Stichprobe mit Zurücklegen, die man in jeder Formelsammlung finden kann; der Begriff Eulersymbol sagt mir auch nix.
Tyll |
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