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Beitrag |
    
Julchen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 20:15: | 
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Hallo!
Ich brauche ganz dringend den Beweis dafür, dass alle gebrochen rationalen Funktionen stetig sind!
Bewiesen haben wir bereits, dass jede konstante Funktion, die Funktion f(x)=x und wir Wurzelfunktion stetig sind!!! Vielleicht kann man ja aus diesen beweisen was schliessen, dass man es gar nicht mehr berechnen muss, sondern es daraus schlussfolgern kann!
Hoffe ihr versteht wie ich das meine...
Danke schon mal im Voraus.
VLG |
Levi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 03:36: |
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Das ist falsch.
Oder was meint ihr?
ein Gegenbeispiel wäre:
f(x) = 1/x ist eine gebrochenrationale Funktion.
Sie ist in x=0 nicht stetig.
=> nicht alle gebrochenrationalen Funktionen sind stetig.
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juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 08:27: |
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Hallo Ihr Beiden,
Levi hat Recht, aber vielleicht meint Julchen ja die allgemeinen ganzrationalen Funktionen und die allgemeinen irrationalen Funktionen (Wurzelfunktionen)? Jedenfalls könnte man dann auf das aufbauen, was schon bewiesen ist?
Gruss
J. |
Thomas
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 10:36: |
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Oder Julchen meint gebr. rat. Fkt. die ungefähr so aussehen:
f(x) = 1/(x²+c)
c = positives absolutes Glied (ungleich 0)
Die wären dann auch stetig...
Gruß
Thomas |
Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 16:03: |
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Oder noch einfacher: Man soll zeigen, dass alle gebrochenrationalen Funktionen innerhalb jedes Intervalls ihres Defintionsbereiches stetig sind.
Gruß
Peter |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 991
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 20:31: |
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Hi @ all!
Peter kommt der Sache am nächsten. In der Tat ist jede gebrochen rationale Funktion stetig. Seht euch dazu die formale Definition der Stetigkeit an:
Eine Funktion f: D -> W heißt stetig, wenn für alle x aus D folgendes gilt.
Zu jedem epsilon > 0 existiert ein delta > 0, so dass für alle y aus D mit |x - y| < delta folgt, dass |f(x) - f(y)| < epsilon.
Im Umkehrschluss ist eine Funktion unstetig, wenn es ein x aus D und ein epsilon > 0 gibt, sodass für alle delta > 0 ein y aus D existiert mit |x - y | < delta und |f(x) - f(y)| >= epsilon.
Levi sag, dass f(x) = 1/x in x = 0 nicht stetig sei. Aber hier ist doch schon "x aus D" nicht erfüllt!
Für f(x) = 1/x nach Stetigkeit in x = 0 zu fragen, ist genauso sinnlos wie die Frage, ob z. B. f(0) > 0.
Korrekt hingegen ist: Die Funktion f(x) = 1/x ist in x = 0 nicht stetig ergänzbar.
Haarspalterei? Ist halt so! |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 21:15: |
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oder einfacher ausgedrückt:
für x=0 ist die Funktion weder stetig noch unstetig, weil sie dort überhaupt nicht existiert!
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Folgende Funktionen sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig:
Betragsfunktion, Polynome, rationale Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und Potenzfunktionen.
Dies im Detail zu zeigen, ist etwas umständlich und sollte besser in irgendeinem Buch der Analysis nachgelesen werden.
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 993
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 22:33: |
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Und außerdem sind alle Funktionen stetig, die aus stetigen Funktionen durch Summen-, Differenz- Produkt- und Quotientenbildung sowie Hintereinanderausführung zusammengesezt sind. |
