| Autor |
Beitrag |
    
TTom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. März, 2002 - 20:45: | 
|
also folgende aufgabe ist gegeben:
"Untersuchen Sie, in welchen Bereichen die Funktion f: R --> R mit f(x):=ln(2/(1+x^2))
a)monoton steigt oder fällt,
b) konvex oder konkav ist
c) wo sie Nullstellen, relative Extrempunkte und Wendepunkte hat!"
für a) bestimme ich also zuerst die 1. Ableitung.
dann bekomm ich raus : -2x/(1+x^2) (Musterlösung hab ich hier). diese setze ich gleich null und bekomme dann x = 0 raus -
ist es richtig daß ich jetzt einen x-wert über 0 und einen unter 0 nehme und dann daraus die monotonie ableiten kann?
als ergebnis kommt also raus für x<=0>=0 ist f monoton fallend.
aber wieseo darf man hier werte kleiner 0 nehmen? ich dachte bei logarithmen dürften nur positive zahlen verwendet werden?
denn :
zu b) kommt für die 2. ableitung raus :
2(x^2-1) / (1+x^2)^2 , diese gleich Null setzen und jetzt steht in der Musterlösung den Betrag von x ermitteln, für den die 2.ableitung null wird. also hier auf einmal keine negativen zahlen wie bei der ersten ableitung??? wieso? |
TTom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. März, 2002 - 20:47: |
|
kleiner tippfehler : das ergebnis von a lautet:
für x kleiner gleich 0 ist f monoton steigend, für x größer gleich 0 ist f monoton fallend |
LeonoreG
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 08:37: |
|
Hallo TTom,
f(x) = ln(2/(1+x²))
f'(x) = -2x/(1+x²)
f''(x) = 2(1+x²)/(1+x²)²
Die Methode: einen x-Wert über und einen unter 0 einzusetzen ist nicht zulässig, weil es ja Werte dazwischen geben könnte, die sich anders verhalten.
Du musst also alle x- Werte untersuchen!
Wir untersuchen für welche Werte von x die Funktion
f'(x) = -2x/(1+x²) positiv, negativ oder null ist:
Der Nenner ist für alle x-Werte: positiv
f'(x) verhält sich also so wie der Zähler
-2x ist positiv für alle x-Werte x < 0
negativ für alle x-Werte x>0
null für x=0
Daher:
Die Funktion f(x) ist monoton steigend für alle x-Werte x <= 0
Die Funktion f(x) ist monoton fallend für alle x-Werte x >= 0
Zu den negativen Zahlen bei der ln-Funktion:
Das was unter dem Logarithmus steht darf nicht 0 oder negativ sein!
In unserem Fall ist dies: 2/(1+x²)
dies ist für alle x-Werte positiv (also auch wenn die x-Werte selbst negativ sind).
|
TTOM
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 13:28: |
|
also a) hab ich jetzt verstanden.ich ermittle also für welches x der ausdruck 0 wird, um sozusagen den "Änderungspunkt" des monotonieverhaltens herauszubekommen?
aber zu b) mir ist noch nicht ganz klar warum ich hier den betrag von x nehmen muss. für -1 kommt doch auch 0 raus, und durch das ^2 kann der ausdruck doch nicht negativ werden?
|
LeonoreG
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 10:36: |
|
Hallo TTom,
Vorbemerkung: die Bezeichnung eine Kurve ist konvex oder konkav ist nicht eindeutig! Es kommt darauf an ob man von oben oder von unter auf die Kurve schaut.
Manche Bücher sprechen daher von "konkav von oben", "konkav von unten" oder "konvex von oben", "konvex von unten".
Besser ist schon die Bezeichnung: "linksgkrümmt", "rechtsgekrümmt", wobei die Kurve natürlich immer in Richtung wachsender x-Werte zu durchfahren ist.
Zu unserem Beispiel:
linksgekrümmt ist eine Kurve dort wo die zweite Ableitung positiv ist.
rechtsgekrümmt ist eine Kurve dort wo die zweite Ableitung negativ ist.
f''(x) = 2(x²-1) / (1+x²)²
wir untersuchen also: für welche Werte von x ist dier Ausdruck positiv (negativ)?
Da der Nenner immer positiv ist, hat f''(x) das gleiche Vorzeichen wie der Zähler.
Wir untersuchen also den Zähler:
2(x²-1)
Der Faktor 2 ist immer positiv, also untersuchen wir weiters den Faktor (x²-1).
Dieser ist
positiv für x < -1
positiv für x > 1
negativ für -1 < x < 1
Die Konvexität der Funktion f(x) ist demnach:
linksgekrümmt für alle x < -1 und für alle x > 1
rechtsgekrümmt für alle x im Intervall (-1; 1)
Für die x-Werte x= -1 und x= 1 ergeben sich Wendepunkte. Dort hat die Kurve die Krümmung null.
Mit dem Betrag von x hat dies alles nichts zu tun!
In der Lösungsanweisung müsste es heißen: ermittle die Werte von x für die die zweite Ableitung = 0 wird.
|
|
